如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球. 在月球附近一点 $P$ 轨进入以月球球心 $F$ 为一个焦点的椭圆轨道 $I$ 绕月飞行，之后卫星在 $P$ 点第二次变轨进入仍以 $F$ 为一个焦点的椭圆轨道 $II$ 绕月飞行，最终卫星在 $P$ 点第三次变轨进入以 $F$ 为圆心的圆形轨道 $III$ 绕月飞行，若用 $2c_{1}$ 和 $2c_{2}$ 分别表示椭圆轨道 $I$ 和 $II$ 的焦距. 用 $2a_{1}$ 和 $2a_{2}$ 分别表示椭圆轨道 $I$ 和 $II$ 的长轴的长，给出下列式子：

① $a_{1} + c_{1} = a_{2} + c_{2}$； ② $a_{1} - c_{1} = a_{2} - c_{2}$； ③ $c_{1}a_{2} > a_{1}c_{2}$； ④ $\frac{c_{1}}{a_{1}} < \frac{c_{2}}{a_{2}}$.

其中正确式子的序号是（ ）

方程 $2^{-x} + x^{2} = 3$ 的实数解的个数为______.

已知函数 $f(x) = \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} - 2$.

(1) 将函数 $f(x)$ 化简成 $A\sin(\omega x + \varphi) + B$（$A > 0$，$\omega > 0$，$\varphi \in [0, 2\pi)$）的形式，并指出 $f(x)$ 的周期； (2) 求函数 $f(x)$ 在 $\left[\pi, \frac{17\pi}{12}\right]$ 上的最大值和最小值.

已知函数 $f(x) = x^3 + mx^2 - m^2x + 1$ （ $m$ 为常数，且 $m > 0$） 有极大值 9.

(1) 求 $m$ 的值； (2) 若斜率为 $-5$ 的直线是曲线 $y = f(x)$ 的切线，求此直线方程.

如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为 $18000\mathrm{~cm}^2$，四周空白的宽度为 $10\mathrm{~cm}$，两栏之间的中缝空白的宽度为 $5\mathrm{~cm}$，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：$\mathrm{cm}$），能使矩形广告面积最小？