若 $a$、$b$ 是函数 $f(x) = x^2 - px + q$（$p > 0$，$q > 0$）的两个不同的零点，且 $a$、$b$、$-2$ 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 $p + q$ 的值等于（ ）

已知 $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$，$|\overrightarrow{AB}| = \frac{1}{t}$，$|\overrightarrow{AC}| = t$. 若点 $P$ 是 $\triangle ABC$ 所在平面内的一点，且 $\overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{4\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，则 $\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC}$ 的最大值等于（ ）

若函数 （$a > 0$，且 $a \neq 1$）的值域是 $[4, +\infty)$，则实数 $a$ 的取值范围是______.

一个二元码是由 $0$ 和 $1$ 组成的数字串 $x_{1}x_{2}\cdots x_{n}$（$n\in \mathbf{N}^{*}$），其中 $x_{k}$（$k=1$，$2$，$\dots$，$n$）称为第 $k$ 位码元. 二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由 $0$ 变为 $1$，或者由 $1$ 变为 $0$）. 已知某种二元码 $x_{1}x_{2}\cdots x_{7}$ 的码元满足如下校验方程组：，其中运算 $\oplus$ 定义为：$0\oplus 0=0$，$0\oplus 1=1$，$1\oplus 0=1$，$1\oplus 1=0$. 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 $k$ 位发生码元错误后变成了 $1101101$，那么利用上述校验方程组可判定 $k$ 等于______.

某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 $3$ 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定. 小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 $6$ 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 $1$ 个进行尝试. 若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.

(1) 求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (2) 设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 $X$，求 $X$ 的分布列和数学期望.

如图，在几何体 $ABCDE$ 中，四边形 $ABCD$ 是矩形，$AB \perp$ 平面 $BEC$，$BE \perp EC$，$AB = BE = EC = 2$，$G$、$F$ 分别是线段 $BE$、$DC$ 的中点.

(1) 求证：$GF \parallel$ 平面 $ADE$； (2) 求平面 $AEF$ 与平面 $BEC$ 所成锐二面角的余弦值.