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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若集合 A={i,i2,i3,i4}A = \{\mathrm{i}, \mathrm{i}^2, \mathrm{i}^3, \mathrm{i}^4\}（i\mathrm{i} 是虚数单位），B={1,−1}B = \{1, -1\}，则 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
{−1}\{-1\}
B.
{1}\{1\}
C.
{1,−1}\{1, -1\}
D.
∅\varnothing

2015 · 福建 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数为奇函数的是（ ）
A.
y=xy = \sqrt{x}
B.
y=∣sin⁡x∣y = |\sin x|
C.
y=cos⁡xy = \cos x
D.
y=ex−e−xy = \mathrm{e}^{x} - \mathrm{e}^{-x}

2015 · 福建 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★☆☆☆☆
若双曲线 E:x29−y216=1E: \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 的左、右焦点分别为 F1F_1、F2F_2，点 PP 在双曲线 EE 上，且 ∣PF1∣=3|PF_1| = 3，则 ∣PF2∣|PF_2| 等于（ ）
A.
11
B.
9
C.
5
D.
3

2015 · 福建 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表：
收入 xx（万元）8.28.28.68.610.010.011.311.311.911.9
支出 yy（万元）6.26.27.57.58.08.08.58.59.89.8
根据上表可得回归直线方程 y^=b^x+a^\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}，其中 b^=0.76\hat{b}=0.76，a^=yˉ−b^xˉ\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}. 据此估计，该社区一户年收入为 1515 万元家庭的年支出为（ ）
A.
11.4 万元11.4\text{~万元}
B.
11.8 万元11.8\text{~万元}
C.
12.0 万元12.0\text{~万元}
D.
12.2 万元12.2\text{~万元}

2015 · 福建 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{x+2y⩾0,x−y⩽0,x−2y+2⩾0,\begin{cases} x + 2y \geqslant 0,\\ x - y \leqslant 0,\\ x - 2y + 2 \geqslant 0, \end{cases}
则 z=2x−yz = 2x - y 的最小值等于（ ）
A.
−52-\frac{5}{2}
B.
−2-2
C.
−32-\frac{3}{2}
D.
2

2015 · 福建 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）
A.
2
B.
1
C.
0
D.
−1-1

2015 · 福建 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★★☆☆☆
若 ll、mm 是两条不同的直线，mm 垂直于平面 α\alpha，则“l⊥ml \perp m”是“l∥αl \parallel \alpha”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2015 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08数列★★★☆☆
若 aa、bb 是函数 f(x)=x2−px+qf(x) = x^2 - px + q（p>0p > 0，q>0q > 0）的两个不同的零点，且 aa、bb、−2-2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+qp + q 的值等于（ ）
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9

2015 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
已知 AB→⊥AC→\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}，∣AB→∣=1t|\overrightarrow{AB}| = \frac{1}{t}，∣AC→∣=t|\overrightarrow{AC}| = t. 若点 PP 是 △ABC\triangle ABC 所在平面内的一点，且 AP→=AB→∣AB→∣+4AC→∣AC→∣\overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{4\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}，则 PB→⋅PC→\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} 的最大值等于（ ）
A.
13
B.
15
C.
19
D.
21

2015 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
若定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)f(x) 满足 f(0)=−1f(0) = -1，其导函数 f′(x)f'(x) 满足 f′(x)>k>1f'(x) > k > 1，则下列结论中一定错误的是（ ）
A.
f(1k)<1kf\left(\frac{1}{k}\right) < \frac{1}{k}
B.
f(1k)>1k−1f\left(\frac{1}{k}\right) > \frac{1}{k - 1}
C.
f(1k−1)<1k−1f\left(\frac{1}{k - 1}\right) < \frac{1}{k - 1}
D.
f(1k−1)>kk−1f\left(\frac{1}{k - 1}\right) > \frac{k}{k - 1}

2015 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(x+2)5(x + 2)^{5} 的展开式中，x2x^{2} 的系数等于______.

2015 · 福建 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12三角函数★★☆☆☆
若锐角 △ABC\triangle ABC 的面积为 10310\sqrt{3}，且 AB=5AB = 5，AC=8AC = 8，则 BCBC 等于______.

2015 · 福建 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★★☆☆☆
如图，点 AA 的坐标为 (1,0)(1,0)，点 CC 的坐标为 (2,4)(2,4)，函数 f(x)=x2f(x) = x^2. 若在矩形 ABCDABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于______.

2015 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
若函数
f(x)={−x+6,x⩽2,3+log⁡ax,x>2,f(x) = \begin{cases} -x + 6, & x \leqslant 2,\\ 3 + \log_a x, & x > 2, \end{cases}
（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）的值域是 [4,+∞)[4, +\infty)，则实数 aa 的取值范围是______.

2015 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
一个二元码是由 00 和 11 组成的数字串 x1x2⋯xnx_{1}x_{2}\cdots x_{n}（n∈N∗n\in \mathbf{N}^{*}），其中 xkx_{k}（k=1k=1，22，…\dots，nn）称为第 kk 位码元. 二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由 00 变为 11，或者由 11 变为 00）. 已知某种二元码 x1x2⋯x7x_{1}x_{2}\cdots x_{7} 的码元满足如下校验方程组：
{x4⊕x5⊕x6⊕x7=0,x2⊕x3⊕x6⊕x7=0,x1⊕x3⊕x5⊕x7=0,\begin{cases} x_{4}\oplus x_{5}\oplus x_{6}\oplus x_{7}=0,\\ x_{2}\oplus x_{3}\oplus x_{6}\oplus x_{7}=0,\\ x_{1}\oplus x_{3}\oplus x_{5}\oplus x_{7}=0, \end{cases}
，其中运算 ⊕\oplus 定义为：0⊕0=00\oplus 0=0，0⊕1=10\oplus 1=1，1⊕0=11\oplus 0=1，1⊕1=01\oplus 1=0. 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 kk 位发生码元错误后变成了 11011011101101，那么利用上述校验方程组可判定 kk 等于______.

2015 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16概率与统计★★★☆☆
某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 33 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定. 小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 66 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 11 个进行尝试. 若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
(1) 求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (2) 设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 XX，求 XX 的分布列和数学期望.

2015 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在几何体 ABCDEABCDE 中，四边形 ABCDABCD 是矩形，AB⊥AB \perp 平面 BECBEC，BE⊥ECBE \perp EC，AB=BE=EC=2AB = BE = EC = 2，GG、FF 分别是线段 BEBE、DCDC 的中点.
(1) 求证：GF∥GF \parallel 平面 ADEADE； (2) 求平面 AEFAEF 与平面 BECBEC 所成锐二面角的余弦值.

2015 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）过点 (0,2)(0, \sqrt{2})，且离心率 e=22e = \frac{\sqrt{2}}{2}.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 设直线 l:x=my−1l: x = my - 1（m∈Rm \in \mathbf{R}）交椭圆 EE 于 AA、BB 两点，判断点 G(−94,0)G\left(-\frac{9}{4}, 0\right) 与以线段 ABAB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.

2015 · 福建 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)f(x) = \ln (1 + x)，g(x)=kxg(x) = kx（k∈Rk \in \mathbf{R}）.
(1) 证明：当 x>0x > 0 时，f(x)<xf(x) < x； (2) 证明：当 k<1k < 1 时，存在 x0>0x_0 > 0，使得对任意的 x∈(0,x0)x \in (0, x_0)，恒有 f(x)>g(x)f(x) > g(x)； (3) 确定 kk 的所有可能取值，使得存在 t>0t > 0，对任意的 x∈(0,t)x \in (0, t)，恒有 ∣f(x)−g(x)∣<x2|f(x) - g(x)| < x^2.

2015 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，圆 CC 的参数方程为
{x=1+3cos⁡t,y=−2+3sin⁡t.\begin{cases} x = 1 + 3\cos t,\\ y = -2 + 3\sin t. \end{cases}
（tt 为参数）. 在极坐标系（与平面直角坐标系 xOyxOy 取相同的长度单位，且以原点 OO 为极点，以 xx 轴非负半轴为极轴）中，直线 ll 的方程为 2ρsin⁡(θ−π4)=m\sqrt{2}\rho\sin \left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = m（m∈Rm \in \mathbf{R}）.
(1) 求圆 CC 的普通方程及直线 ll 的直角坐标方程； (2) 设圆心 C′C' 到直线 ll 的距离等于 2，求 mm 的值.

2015 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的图象是由函数 g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x 的图象经如下变换得到：先将 g(x)g(x) 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 22 倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移 π2\frac{\pi}{2} 个单位长度.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式，并求其图象的对称轴方程； (2) 已知关于 xx 的方程 f(x)+g(x)=mf(x)+g(x)=m 在 [0,2π)[0,2\pi) 内有两个不同的解 α\alpha、β\beta.
(i) 求实数 mm 的取值范围； (ii) 证明：cos⁡(α−β)=2m25−1\cos(\alpha-\beta)=\frac{2m^{2}}{5}-1.

2015 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22平面向量★☆☆☆☆
已知矩阵
A=(2143)A=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}
，
B=(110−1)B=\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}
.
(1) 求 AA 的逆矩阵 A−1A^{-1}； (2) 求矩阵 CC，使得 AC=BAC = B.

2015 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 a>0a > 0，b>0b > 0，c>0c > 0，函数 f(x)=∣x+a∣+∣x−b∣+cf(x) = |x + a| + |x - b| + c 的最小值为 44.
(1) 求 a+b+ca + b + c 的值； (2) 求 14a2+19b2+c2\frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{9}b^{2}+c^{2} 的最小值.

2015 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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