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05函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=2ln⁡xf(x) = 2\ln x 的图象与函数 g(x)=x2−4x+5g(x) = x^2 - 4x + 5 的图象的交点个数为（ ）
A.
3
B.
2
C.
1
D.
0

2013 · 湖南 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06平面向量★★★☆☆
已知 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是单位向量，a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0. 若向量 c\boldsymbol{c} 满足 ∣c−a−b∣=1\left|\boldsymbol{c} - \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right| = 1，则 ∣c∣\left|\boldsymbol{c}\right| 的取值范围是（ ）
A.
[2−1,2+1]\left[\sqrt{2} - 1, \sqrt{2} + 1\right]
B.
[2−1,2+2]\left[\sqrt{2} - 1, \sqrt{2} + 2\right]
C.
[1,2+1][1, \sqrt{2} + 1]
D.
[1,2+2][1, \sqrt{2} + 2]

2013 · 湖南 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
在等腰直角三角形 ABCABC 中，AB=AC=4AB = AC = 4，点 PP 是边 ABAB 上异于 AA，BB 的一点，光线从点 PP 出发，经 BCBC，CACA 反射后又回到点 PP （如图）. 若光线 QRQR 经过 △ABC\triangle ABC 的重心，则 APAP 等于（ ）
A.
2
B.
1
C.
83\frac{8}{3}
D.
43\frac{4}{3}

2013 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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10不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，c∈Rc \in \mathbf{R}，a+2b+3c=6a + 2b + 3c = 6，则 a2+4b2+9c2a^2 + 4b^2 + 9c^2 的最小值为______.

2013 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
设 F1F_{1}，F2F_{2} 是双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （a>0a > 0，b>0b > 0）的两个焦点，PP 是 CC 上一点，若 ∣PF1∣+∣PF2∣=6a|PF_{1}| + |PF_{2}| = 6a，且 △PF1F2\triangle PF_{1}F_{2} 的最小内角为 30∘30^{\circ}，则 CC 的离心率为______.

2013 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(x−π6)+cos⁡(x−π3)f(x) = \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) + \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right)，g(x)=2sin⁡2x2g(x) = 2\sin^2\frac{x}{2}.
(1) 若 α\alpha 是第一象限角，且 f(α)=335f(\alpha) = \frac{3\sqrt{3}}{5}，求 g(α)g(\alpha) 的值； (2) 求使 f(x)⩾g(x)f(x) \geqslant g(x) 成立的 xx 的取值集合.

2013 · 湖南 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某人在如图所示的直角边长为 4 米4\text{ 米} 的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物. 根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 YY（单位：kg\mathrm{kg}）与它的“相近”作物株数 XX 之间的关系如下表所示：
XX1234
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米1\text{ 米}.
(1) 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2) 从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.
=0pt =0pt

2013 · 湖南 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在直棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AD∥BCAD \parallel BC，∠BAD=90∘\angle BAD = 90^{\circ}，AC⊥BDAC \perp BD，BC=1BC = 1，AD=AA1=3AD = AA_{1} = 3.
(1) 证明： AC⊥B1DAC \perp B_{1}D； (2) 求直线 B1C1B_{1}C_{1} 与平面 ACD1ACD_{1} 所成角的正弦值.

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