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01复数★☆☆☆☆
复数 z=i⋅(1+i)z = \mathrm{i} \cdot (1 + \mathrm{i})（i\mathrm{i} 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2013 · 湖南 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02概率与统计★☆☆☆☆
某学校有男、女学生各 500 名500\text{ 名}. 为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名100\text{ 名}学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）
A.
抽签法
B.
随机数法
C.
系统抽样法
D.
分层抽样法

2013 · 湖南 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★☆☆☆☆
在锐角 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB 所对的边长分别为 aa，bb. 若 2asin⁡B=3b2a \sin B = \sqrt{3} b，则角 AA 等于（ ）
A.
π12\frac{\pi}{12}
B.
π6\frac{\pi}{6}
C.
π4\frac{\pi}{4}
D.
π3\frac{\pi}{3}

2013 · 湖南 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足的约束条件
{y⩽2x,x+y⩽1,y⩾−1,\begin{cases} y \leqslant 2x,\\ x + y \leqslant 1,\\ y \geqslant -1, \end{cases}
则 x+2yx + 2y 的最大值是（ ）
A.
−52-\frac{5}{2}
B.
0
C.
53\frac{5}{3}
D.
52\frac{5}{2}

2013 · 湖南 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=2ln⁡xf(x) = 2\ln x 的图象与函数 g(x)=x2−4x+5g(x) = x^2 - 4x + 5 的图象的交点个数为（ ）
A.
3
B.
2
C.
1
D.
0

2013 · 湖南 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06平面向量★★★☆☆
已知 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是单位向量，a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0. 若向量 c\boldsymbol{c} 满足 ∣c−a−b∣=1\left|\boldsymbol{c} - \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\right| = 1，则 ∣c∣\left|\boldsymbol{c}\right| 的取值范围是（ ）
A.
[2−1,2+1]\left[\sqrt{2} - 1, \sqrt{2} + 1\right]
B.
[2−1,2+2]\left[\sqrt{2} - 1, \sqrt{2} + 2\right]
C.
[1,2+1][1, \sqrt{2} + 1]
D.
[1,2+2][1, \sqrt{2} + 2]

2013 · 湖南 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★★☆
已知棱长为 11 的正方体的俯视图是一个面积为 11 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ）
A.
1
B.
2\sqrt{2}
C.
2−12\frac{\sqrt{2} - 1}{2}
D.
2+12\frac{\sqrt{2} + 1}{2}

2013 · 湖南 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
在等腰直角三角形 ABCABC 中，AB=AC=4AB = AC = 4，点 PP 是边 ABAB 上异于 AA，BB 的一点，光线从点 PP 出发，经 BCBC，CACA 反射后又回到点 PP （如图）. 若光线 QRQR 经过 △ABC\triangle ABC 的重心，则 APAP 等于（ ）
A.
2
B.
1
C.
83\frac{8}{3}
D.
43\frac{4}{3}

2013 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★☆☆☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，若直线
l:{x=t,y=t−a,l: \begin{cases} x = t,\\ y = t - a, \end{cases}
（tt 为参数）过椭圆
C:{x=3cos⁡φ,y=2sin⁡φ.C: \begin{cases} x = 3\cos \varphi,\\ y = 2\sin \varphi. \end{cases}
（φ\varphi 为参数）的右顶点，则常数 aa 的值为______.

2013 · 湖南 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，c∈Rc \in \mathbf{R}，a+2b+3c=6a + 2b + 3c = 6，则 a2+4b2+9c2a^2 + 4b^2 + 9c^2 的最小值为______.

2013 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★☆☆☆
如图，在半径为 7\sqrt{7} 的 ⊙O\odot O 中，弦 ABAB，CDCD 相交于点 PP，PA=PB=2PA = PB = 2，PD=1PD = 1，则圆心 OO 到弦 CDCD 的距离为______.

2013 · 湖南 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12导数及其应用★☆☆☆☆
若 ∫0Tx2dx=9\int_{0}^{T} x^{2} \mathrm{d}x = 9，则常数 TT 的值为______.

2013 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，如果输入 a=1a = 1，b=2b = 2，则输出的 aa 的值为______.

2013 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★★☆☆
设 F1F_{1}，F2F_{2} 是双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （a>0a > 0，b>0b > 0）的两个焦点，PP 是 CC 上一点，若 ∣PF1∣+∣PF2∣=6a|PF_{1}| + |PF_{2}| = 6a，且 △PF1F2\triangle PF_{1}F_{2} 的最小内角为 30∘30^{\circ}，则 CC 的离心率为______.

2013 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
设 SnS_{n} 为数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，Sn=(−1)nan−12nS_{n} = (-1)^{n}a_{n} - \frac{1}{2^{n}}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，则
(1) a3=‾a_{3} =\underline{\hspace{2em}}； (2) S1+S2+⋯+S100=‾S_{1} + S_{2} + \dots + S_{100} =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★★★
设函数 f(x)=ax+bx−cxf(x) = a^x + b^x - c^x，其中 c>a>0c > a > 0，c>b>0c > b > 0.
(1) 记集合 M={(a,b,c)∣a,b,cM = \{(a, b, c) \mid a, b, c 不能构成一个三角形的三条边长，且 a=b}a = b\}，则 (a,b,c)∈M(a, b, c) \in M 所对应的 f(x)f(x) 的零点的取值集合为______； (2) 若 aa，bb，cc 是 △ABC\triangle ABC 的三条边长，则下列结论正确的是______.（写出所有正确结论的序号）
① ∀x∈(−∞,1)\forall x \in (-\infty, 1)，f(x)>0f(x) > 0； ② ∃x∈R\exists x \in \mathbf{R}，使 axa^{x}，bxb^{x}，cxc^{x} 不能构成一个三角形的三条边长； ③ 若 △ABC\triangle ABC 为钝角三角形，则 ∃x∈(1,2)\exists x \in (1, 2)，使 f(x)=0f(x) = 0.

2013 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(x−π6)+cos⁡(x−π3)f(x) = \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) + \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right)，g(x)=2sin⁡2x2g(x) = 2\sin^2\frac{x}{2}.
(1) 若 α\alpha 是第一象限角，且 f(α)=335f(\alpha) = \frac{3\sqrt{3}}{5}，求 g(α)g(\alpha) 的值； (2) 求使 f(x)⩾g(x)f(x) \geqslant g(x) 成立的 xx 的取值集合.

2013 · 湖南 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某人在如图所示的直角边长为 4 米4\text{ 米} 的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物. 根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 YY（单位：kg\mathrm{kg}）与它的“相近”作物株数 XX 之间的关系如下表所示：
XX1234
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米1\text{ 米}.
(1) 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2) 从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.
=0pt =0pt

2013 · 湖南 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在直棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AD∥BCAD \parallel BC，∠BAD=90∘\angle BAD = 90^{\circ}，AC⊥BDAC \perp BD，BC=1BC = 1，AD=AA1=3AD = AA_{1} = 3.
(1) 证明： AC⊥B1DAC \perp B_{1}D； (2) 求直线 B1C1B_{1}C_{1} 与平面 ACD1ACD_{1} 所成角的正弦值.

2013 · 湖南 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20不等式★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，将从点 MM 出发沿纵、横方向到达点 NN 的任一路径称为 MM 到 NN 的一条“LL 路径”. 如图所示的路径 MM1M2M3NMM_{1}M_{2}M_{3}N 与路径 MN1NMN_{1}N 都是 MM 到 NN 的“LL 路径”. 某地有三个新建的居民区，分别位于平面 xOyxOy 内三点 A(3,20)A(3,20)，B(−10,0)B(-10,0)，C(14,0)C(14,0) 处. 现计划在 xx 轴上方区域（包含 xx 轴）内的某一点 PP 处修建一个文化中心.
(1) 写出点 PP 到居民区 AA 的“LL 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）； (2) 若以原点 OO 为圆心，半径为 11 的圆的内部是保护区，“LL 路径”不能进入保护区，请确定点 PP 的位置，使其到三个居民区的“LL 路径”长度之和最小.

2013 · 湖南 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
过抛物线 E:x2=2pyE: x^{2} = 2py（p>0p > 0）的焦点 FF 作斜率分别为 k1k_{1}，k2k_{2} 的两条不同的直线 l1l_{1}，l2l_{2}，且 k1+k2=2k_{1} + k_{2} = 2，l1l_{1} 与 EE 相交于点 AA，BB，l2l_{2} 与 EE 相交于点 CC，DD. 以 ABAB，CDCD 为直径的圆 MM，圆 NN（MM，NN 为圆心）的公共弦所在的直线记为 ll.
(1) 若 k1>0k_{1} > 0，k2>0k_{2} > 0，证明：FM→⋅FN→<2p2\overrightarrow{FM} \cdot \overrightarrow{FN} < 2p^{2}； (2) 若点 MM 到直线 ll 的距离的最小值为 755\frac{7\sqrt{5}}{5}，求抛物线 EE 的方程.

2013 · 湖南 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知 a>0a > 0，函数 f(x)=∣x−ax+2a∣f(x) = \left| \frac{x - a}{x + 2a} \right|.
(1) 记 f(x)f(x) 在区间 [0,4][0, 4] 上的最大值为 g(a)g(a)，求 g(a)g(a) 的表达式； (2) 是否存在 aa，使函数 y=f(x)y = f(x) 在区间 (0,4)(0, 4) 内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求 aa 的取值范围；若不存在，请说明理由.

2013 · 湖南 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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