设 $k > 1$，$f(x) = k(x - 1)$（$x \in \mathbf{R}$）. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，函数 $y = f(x)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 点，它的反函数 $y = f^{-1}(x)$ 的图象与 $y$ 轴交于 $B$ 点，并且这两个函数的图象交于 $P$ 点. 已知四边形 $OAPB$ 的面积是$3$，则 $k$ 等于（$\quad$）

已知 $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$，$\tan \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\alpha}{2} = \frac{5}{2}$，求 $\sin \left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right)$ 的值.

在棱长为 $4$ 的正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$O$ 是正方形 $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的中心，点 $P$ 在棱 $CC_{1}$ 上，且 $CC_{1} = 4CP$. 求：

(1) 直线 $AP$ 与平面 $BCC_{1}B_{1}$ 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2) 设 $O$ 点在平面 $D_{1}AP$ 上的射影是 $H$，求证：$D_{1}H \perp AP$； (3) 求点 $P$ 到平面 $ABD_{1}$ 的距离.

制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 $100\%$ 和 $50\%$，可能的最大亏损分别为 $30\%$ 和 $10\%$. 投资人计划投资金额不超过 $10\text{ 万元}$. 要求确保可能的资金亏损不超过 $1.8\text{ 万元}$. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大.

已知椭圆的中心在原点，离心率为 $\frac{1}{2}$. 一个焦点是 $F(-m,0)$（$m$ 是大于 $0$ 的常数）.

(1) 求椭圆的方程； (2) 设 $Q$ 是椭圆上的一点，且过点 $F$，$Q$ 的直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $M$. 若 $\left|MQ\right| = 2\left|QF\right|$，求直线 $l$ 的斜率.