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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 P={1,2,3,4}P = \{1, 2, 3, 4\}，Q={x∣∣x∣⩽2,x∈R}Q = \{x \mid |x| \leqslant 2, x \in \mathbf{R}\}，则 P∩QP \cap Q 等于（\quad）
A.
{1,2}\{1, 2\}
B.
{3,4}\{3,4\}
C.
{1}\{1\}
D.
{−2,−1,0,1,2}\{-2, -1, 0, 1, 2\}

2004 · 江苏 · 第 1 题 · 选择题

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02三角函数★★☆☆☆
函数 y=2cos⁡2x+1y = 2\cos^2 x + 1（x∈Rx \in \mathbf{R}）的最小正周期为（\quad）
A.
π2\frac{\pi}{2}
B.
π\pi
C.
2π2\pi
D.
4π4\pi

2004 · 江苏 · 第 2 题 · 选择题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
从 44 名男生和 33 名女生中选出 44 人参加某个座谈会，若这 44 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（\quad）
A.
140140 种
B.
120120 种
C.
3535 种
D.
3434 种

2004 · 江苏 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
一平面截一球得到直径是 6 cm6 \mathrm{~cm} 的圆面，球心到这个平面的距离是 4 cm4 \mathrm{~cm}，则该球的体积是（\quad）
A.
100π3 cm3\frac{100\pi}{3} \mathrm{~cm}^{3}
B.
208π3 cm3\frac{208\pi}{3} \mathrm{~cm}^{3}
C.
500π3 cm3\frac{500\pi}{3} \mathrm{~cm}^{3}
D.
4163π3 cm3\frac{416\sqrt{3}\pi}{3} \mathrm{~cm}^{3}

2004 · 江苏 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
若双曲线 x28−y2b2=1\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{b^2} = 1 的一条准线与抛物线 y2=8xy^2 = 8x 的准线重合，则双曲线离心率为（\quad）
A.
2\sqrt{2}
B.
222 \sqrt{2}
C.
44
D.
424\sqrt{2}

2004 · 江苏 · 第 5 题 · 选择题

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06概率与统计★☆☆☆☆
某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了 5050 名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据. 结果用下面的条形图表示. 根据条形图可得这 5050 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（\quad）
A.
0.6 小时0.6\text{ 小时}
B.
0.9 小时0.9\text{ 小时}
C.
1.0 小时1.0\text{ 小时}
D.
1.5 小时1.5\text{ 小时}

2004 · 江苏 · 第 6 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
(2x+x)4(2x + \sqrt{x})^4 的展开式中 x3x^3 的系数是（\quad）
A.
66
B.
1212
C.
2424
D.
4848

2004 · 江苏 · 第 7 题 · 选择题

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08指数函数与对数函数★☆☆☆☆
若函数 y=log⁡a(x+b)y = \log_a (x + b)（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）的图象过两点 (−1,0)(-1,0) 和 (0,1)(0,1)，则（\quad）
A.
a=2a = 2，b=2b = 2
B.
a=2a = \sqrt{2}，b=2b = 2
C.
a=2a = 2，b=1b = 1
D.
a=2a = \sqrt{2}，b=2b = \sqrt{2}

2004 · 江苏 · 第 8 题 · 选择题

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09概率与统计★★☆☆☆
将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数 11，22，33，44，55，66 的正方体玩具）先后抛掷 33 次，至少出现一次 66 点向上的概率是（\quad）
A.
5216\frac{5}{216}
B.
25216\frac{25}{216}
C.
31216\frac{31}{216}
D.
91216\frac{91}{216}

2004 · 江苏 · 第 9 题 · 选择题

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10导数及其应用★★☆☆☆
函数 f(x)=x3−3x+1f(x) = x^3 - 3x + 1 在闭区间 [−3,0][-3, 0] 上的最大值，最小值分别是（\quad）
A.
11，−1-1
B.
11，−17-17
C.
33，−17-17
D.
99，−19-19

2004 · 江苏 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
设 k>1k > 1，f(x)=k(x−1)f(x) = k(x - 1)（x∈Rx \in \mathbf{R}）. 在平面直角坐标系 xOyxOy 中，函数 y=f(x)y = f(x) 的图象与 xx 轴交于 AA 点，它的反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x) 的图象与 yy 轴交于 BB 点，并且这两个函数的图象交于 PP 点. 已知四边形 OAPBOAPB 的面积是33，则 kk 等于（\quad）
A.
33
B.
32\frac{3}{2}
C.
43\frac{4}{3}
D.
65\frac{6}{5}

2004 · 江苏 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)=−x1+∣x∣f(x) = -\frac{x}{1 + |x|}（x∈Rx \in \mathbf{R}），区间 M=[a,b]M = [a, b]（a<ba < b），集合 N={y∣y=f(x),x∈M}N = \{y \mid y = f(x), x \in M\}，则使 M=NM = N 成立的实数对 (a,b)(a, b) 有（\quad）
A.
00 个
B.
11 个
C.
22 个
D.
无数多个

2004 · 江苏 · 第 12 题 · 选择题

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13不等式★★☆☆☆
二次函数 y=ax2+bx+cy = ax^{2} + bx + c（x∈Rx \in \mathbf{R}）的部分对应值如下表：
则不等式 ax2+bx+c>0ax^2 + bx + c > 0 的解集是______.

2004 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
以点 (1,2)(1,2) 为圆心，与直线 4x+3y−35=04x+3y-35=0 相切的圆的方程是______.

2004 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★☆☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 Sn=a1(3n−1)2S_{n} = \frac{a_{1}(3^{n} - 1)}{2}（对于所有 n⩾1n \geqslant 1），且 a4=54a_{4} = 54，则 a1a_{1} 的数值是______.

2004 · 江苏 · 第 15 题 · 填空题

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16平面向量★★☆☆☆
平面向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 中，已知 a=(4,−3)\boldsymbol{a} = (4, -3)，∣b∣=1\left|\boldsymbol{b}\right| = 1，且 a⋅b=5\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 5，则向量 b=‾\boldsymbol{b} =\underline{\hspace{2em}}.

2004 · 江苏 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
已知 0<α<π20 < \alpha < \frac{\pi}{2}，tan⁡α2+cot⁡α2=52\tan \frac{\alpha}{2} + \cot \frac{\alpha}{2} = \frac{5}{2}，求 sin⁡(α−π3)\sin \left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right) 的值.

2004 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
在棱长为 44 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，OO 是正方形 A1B1C1D1A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的中心，点 PP 在棱 CC1CC_{1} 上，且 CC1=4CPCC_{1} = 4CP. 求：
(1) 直线 APAP 与平面 BCC1B1BCC_{1}B_{1} 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2) 设 OO 点在平面 D1APD_{1}AP 上的射影是 HH，求证：D1H⊥APD_{1}H \perp AP； (3) 求点 PP 到平面 ABD1ABD_{1} 的距离.

2004 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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19不等式★★★☆☆
制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%100\% 和 50%50\%，可能的最大亏损分别为 30%30\% 和 10%10\%. 投资人计划投资金额不超过 10 万元10\text{ 万元}. 要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元1.8\text{ 万元}. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大.

2004 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
设无穷等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}.
(1) 若首项 a1=32a_1 = \frac{3}{2}，公差 d=1d = 1，求满足 Sk2=(Sk)2S_{k^2} = (S_k)^2 的正整数 kk； (2) 求所有的无穷等差数列 {an}\{a_{n}\}，使得对于一切正整数 kk 都有 Sk2=(Sk)2S_{k^2} = (S_k)^2 成立.

2004 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
已知椭圆的中心在原点，离心率为 12\frac{1}{2}. 一个焦点是 F(−m,0)F(-m,0)（mm 是大于 00 的常数）.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设 QQ 是椭圆上的一点，且过点 FF，QQ 的直线 ll 与 yy 轴交于点 MM. 若 ∣MQ∣=2∣QF∣\left|MQ\right| = 2\left|QF\right|，求直线 ll 的斜率.

2004 · 江苏 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x)（x∈Rx \in \mathbf{R}）满足下列条件：对任意的实数 x1x_1，x2x_2 都有 λ(x1−x2)2⩽(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]\lambda(x_1 - x_2)^2 \leqslant (x_1 - x_2)[f(x_1) - f(x_2)] 和 ∣f(x1)−f(x2)∣⩽∣x1−x2∣|f(x_1) - f(x_2)| \leqslant |x_1 - x_2|. 其中 λ\lambda 是大于00的常数. 设实数 a0a_0，aa，bb 满足 f(a0)=0f(a_0) = 0 和 b=a−λf(a)b = a - \lambda f(a).
(1) 证明：λ⩽1\lambda \leqslant 1，并且不存在 b0≠a0b_0 \neq a_0，使得 f(b0)=0f(b_0) = 0； (2) 证明：(b−a0)2⩽(1−λ2)(a−a0)2(b - a_0)^2\leqslant (1 - \lambda^2)(a - a_0)^2； (3) 证明：[f(b)]2⩽(1−λ2)[f(a)]2[f(b)]^{2}\leqslant(1-\lambda^{2})[f(a)]^{2}.

2004 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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