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06解析几何★★★☆☆
已知圆 (x+1)2+y2=1(x + 1)^2 + y^2 = 1 和圆外一点 P(0,2)P(0,2)，过点 PP 作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是______.
\begin{answer} 43\frac{4}{3} \end{answer}
\begin{solution} 圆心为 C0(−1,0)C_0(-1,0)，半径为 11. 过 P(0,2)P(0,2) 的非竖直直线可设为 y−2=mxy-2=m x. 它与圆相切当且仅当圆心到直线的距离等于半径，即
∣2−m∣m2+1=1\frac{|2-m|}{\sqrt{m^2+1}}=1
平方并化简得 (2−m)2=m2+1(2-m)^2=m^2+1，所以 m=34m=\frac34. 另一条切线为竖直直线 x=0x=0，它与圆在 (0,0)(0,0) 相切. 设两切线的夹角为 φ\varphi，则斜率为 34\frac34 的直线与竖直线的夹角满足 tan⁡φ=134=43\tan\varphi=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac43，故正切值为 43\frac43. \end{solution}

2002 · 上海 · 理 · 第 6 题 · 填空题

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11数列★★★☆☆
若数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=3a_{1} = 3，且 an+1=an2a_{n+1} = a_{n}^{2}（nn 是正整数），则数列的通项 an=a_{n} =______.
\begin{answer} 32n−13^{2^{n-1}} \end{answer}
\begin{solution} 由 a1=3a_1=3，有 a1=320a_1=3^{2^0}. 若对某个正整数 nn 有 an=32n−1a_n=3^{2^{n-1}}，则
an+1=an2=(32n−1)2=32na_{n+1}=a_n^2=\left(3^{2^{n-1}}\right)^2=3^{2^n}
因此由数学归纳法，对任意正整数 nn，数列的通项为 an=32n−1a_n=3^{2^{n-1}}. \end{solution}

2002 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★☆☆
已知直线 ll，mm，平面 α\alpha，β\beta，且 l⊥αl \perp \alpha，m⊂βm \subset \beta，给出下列四个命题.
① 若 α∥β\alpha \parallel \beta，l⊥ml \perp m； ② 若 l⊥ml \perp m，则 α∥β\alpha \parallel \beta； ③ 若 α⊥β\alpha \perp \beta，则 l∥ml \parallel m； ④ 若 l∥ml \parallel m，α⊥β\alpha \perp \beta.
其中正确命题的个数是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 第一项中，若 α∥β\alpha\parallel\beta，且 l⊥αl\perp\alpha，则 l⊥βl\perp\beta，从而 l⊥ml\perp m，所以该命题正确.
第二项不能由 l⊥ml\perp m 推出 α∥β\alpha\parallel\beta. 例如取 α⊥β\alpha\perp\beta，则垂直于 α\alpha 的直线 ll 的方向在平面 β\beta 内；再在 β\beta 内取一条与 ll 垂直的直线 mm，此时 l⊥ml\perp m，但 α\alpha 与 β\beta 不平行，所以该命题错误.
第三项即使 α⊥β\alpha\perp\beta，平面 β\beta 内也有许多方向不同的直线，不一定都有与 ll 相同的方向，因此不能推出 l∥ml\parallel m，该命题错误.
第四项若 l∥ml\parallel m，由 l⊥αl\perp\alpha 可得 m⊥αm\perp\alpha. 又因为 m⊂βm\subset\beta，平面 β\beta 经过一条垂直于平面 α\alpha 的直线，所以 β⊥α\beta\perp\alpha，即 α⊥β\alpha\perp\beta，该命题正确.
因此正确命题有 22 个，故选 B. \end{solution}
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
44 个

2002 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=x+sin⁡∣x∣y = x + \sin |x|，x∈[−π,π]x \in [-\pi, \pi] 的大致图象是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 当 −π⩽x⩽0-\pi\leqslant x\leqslant0 时，∣x∣=−x|x|=-x，所以
f(x)=x−sin⁡xf(x)=x-\sin x
当 0⩽x⩽π0\leqslant x\leqslant\pi 时，∣x∣=x|x|=x，所以
f(x)=x+sin⁡xf(x)=x+\sin x
在左半段，f′(x)=1−cos⁡x⩾0f'(x)=1-\cos x\geqslant0，且 f′′(x)=sin⁡x⩽0f''(x)=\sin x\leqslant0；在右半段，f′(x)=1+cos⁡x⩾0f'(x)=1+\cos x\geqslant0，且 f′′(x)=−sin⁡x⩽0f''(x)=-\sin x\leqslant0. 因而函数在整个区间上单调增加，两段图象均向下弯曲.
又 f(−π)=−πf(-\pi)=-\pi，f(0)=0f(0)=0，f(π)=πf(\pi)=\pi，且在 x=0x=0 处左导数为 00、右导数为 22，图象在原点处有折点. 这些特征与选项 C 的图象一致，故选 C. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2002 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在直三棱柱 ABO−A′B′O′ABO - A'B'O' 中，OO′=4OO' = 4，OA=4OA = 4，OB=3OB = 3，∠AOB=90∘\angle AOB = 90^\circ，DD 是线段 A′B′A'B' 的中点，PP 是侧棱 BB′BB' 上的一点，若 OP⊥BDOP \perp BD，求 OPOP 与底面 AOBAOB 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）

2002 · 上海 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★☆☆
已知点 A(−3,0)A(-\sqrt{3},0) 和 B(3,0)B(\sqrt{3},0)，动点 CC 到 AA，BB 两点的距离之差的绝对值为 22，点 CC 的轨迹与直线 y=x−2y = x - 2 交于 DD，EE 两点，求线段 DEDE 的长.

2002 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2+2x⋅tan⁡θ−1f(x) = x^2 + 2x \cdot \tan \theta - 1，x∈[−1,3]x \in [-1, \sqrt{3}]，其中 θ∈(−π2,π2)\theta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).
(1) 当 θ=−π6\theta = -\frac{\pi}{6} 时，求函数 y=f(x)y = f(x) 的最大值与最小值. (2) 求实数 θ\theta 的取值范围，使 y=f(x)y = f(x) 在区间 [−1,3][-1, \sqrt{3}] 上是单调函数.

2002 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★☆☆
某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的 80%80\% 出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为 400 元400\text{ 元} 的商品，则消费金额为 320 元320\text{ 元}. 获得的优惠额为：400×0.2+30=110 元400 \times 0.2 + 30 = 110\text{ 元}，设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价\dfrac{\text{购买商品获得的优惠额}}{\text{商品的标价}}，试问：
(1) 若购买一件标价为 1000 元1000\text{ 元} 的商品，顾客得到的优惠率是多少？ (2) 对于标价在 [500,800] 元[500,800]\text{ 元} 内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于 13\dfrac{1}{3} 的优惠率？

2002 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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