数迹
题目列表试卷列表
共找到 6 题
排序：
组题
本页 6 题去组卷
08解析几何★★★☆☆
已知直线 l:x+ay−1=0l: x + ay - 1 = 0 （a∈Ra \in \mathbf{R}）是圆 C:x2+y2−4x−2y+1=0C: x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0 的对称轴. 过点 A(−4,a)A(-4, a) 作圆 CC 的一条切线. 切点为 BB，则 ∣AB∣=|AB| =（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 将圆方程配方得
(x−2)2+(y−1)2=4(x-2)^2+(y-1)^2=4
所以圆心为 O(2,1)O(2,1)，半径为 22. 圆的对称轴必须经过圆心，将 OO 代入直线方程得 2+a−1=02+a-1=0，故 a=−1a=-1. 于是 A(−4,−1)A(-4,-1)，从而
OA=(−4−2)2+(−1−1)2=210OA=\sqrt{(-4-2)^2+(-1-1)^2}=2\sqrt{10}
在切点 BB 处，OB⊥ABOB\perp AB，所以
AB=OA2−OB2=40−4=6AB=\sqrt{OA^2-OB^2}=\sqrt{40-4}=6
故答案为 C. \end{solution}
A.
22
B.
424\sqrt{2}
C.
66
D.
2102\sqrt{10}

2015 · 重庆 · 理 · 第 8 题 · 选择题

查看答案和解析
09三角函数★★★☆☆
若 tan⁡α=2tan⁡π5\tan \alpha = 2\tan \frac{\pi}{5}，则 cos⁡(α−3π10)sin⁡(α−π5)=\frac{\cos\left(\alpha - \frac{3\pi}{10}\right)}{\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{5}\right)} =（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 记 β=π5\beta=\frac\pi5，则 3π10=π2−β\frac{3\pi}{10}=\frac\pi2-\beta. 利用 tan⁡α=2tan⁡β\tan\alpha=2\tan\beta 及两角和差公式，得
cos⁡(α−3π10)=cos⁡αsin⁡β+sin⁡αcos⁡β\cos\left(\alpha-\frac{3\pi}{10}\right)=\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta
sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta
又因为 sin⁡α=2tan⁡βcos⁡α\sin\alpha=2\tan\beta\cos\alpha，所以 cos⁡(α−3π10)=3sin⁡βcos⁡α\cos\left(\alpha-\frac{3\pi}{10}\right)=3\sin\beta\cos\alpha，sin⁡(α−β)=sin⁡βcos⁡α\sin\left(\alpha-\beta\right)=\sin\beta\cos\alpha. 分母不为零，故所求比值为 33，答案为 C. \end{solution}
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2015 · 重庆 · 理 · 第 9 题 · 选择题

查看答案和解析
15解析几何★★★☆☆
已知直线 ll 的参数方程为
{x=−1+t,y=1+t,\begin{cases} x = -1 + t,\\ y = 1 + t, \end{cases}
（tt 为参数），以坐标原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 CC 的极坐标方程为 ρ2cos⁡2θ=4\rho^2 \cos 2\theta = 4 （ρ>0\rho > 0，3π4<θ<5π4\frac{3\pi}{4} < \theta < \frac{5\pi}{4}），则直线 ll 与曲线 CC 的交点的极坐标为______.
\begin{answer} (2,π)(2,\pi) \end{answer}
\begin{solution} 由直线的参数方程，消去参数得 y−x=2y-x=2，即
ρ(sin⁡θ−cos⁡θ)=2\rho(\sin\theta-\cos\theta)=2
又因为 ρ2cos⁡2θ=4\rho^2\cos2\theta=4，所以
−ρ2(sin⁡θ−cos⁡θ)(sin⁡θ+cos⁡θ)=4-\rho^2(\sin\theta-\cos\theta)(\sin\theta+\cos\theta)=4
代入直线关系，得 ρ(sin⁡θ+cos⁡θ)=−2\rho(\sin\theta+\cos\theta)=-2. 两式相加得 2ρsin⁡θ=02\rho\sin\theta=0，由于 ρ>0\rho>0 且 3π4<θ<5π4\frac{3\pi}{4}<\theta<\frac{5\pi}{4}，故 θ=π\theta=\pi，再由直线关系得 ρ=2\rho=2. 所以交点的极坐标为 (2,π)(2,\pi). \end{solution}

2015 · 重庆 · 理 · 第 15 题 · 填空题

查看答案和解析
16不等式★★★☆☆
若函数 f(x)=∣x+1∣+2∣x−a∣f(x) = |x + 1| + 2|x - a| 的最小值为 5，则实数 a=a =______.
\begin{answer} −6-6 或 44 \end{answer}
\begin{solution} 当 a⩾−1a\geqslant-1 时，分三段展开：
f(x)={2a−3x−1,x⩽−1,2a+1−x,−1⩽x⩽a,3x+1−2a,x⩾a.f(x)= \begin{cases} 2a-3x-1, & x\leqslant-1,\\ 2a+1-x, & -1\leqslant x\leqslant a,\\ 3x+1-2a, & x\geqslant a. \end{cases}
前两段的斜率分别为 −3-3、−1-1，后一段的斜率为 33，所以函数先递减后递增，最小值在 x=ax=a 处取得，且 f(a)=a+1f(a)=a+1. 令 a+1=5a+1=5，得 a=4a=4.
当 a⩽−1a\leqslant-1 时，分三段展开：
f(x)={2a−3x−1,x⩽a,x−1−2a,a⩽x⩽−1,3x+1−2a,x⩾−1.f(x)= \begin{cases} 2a-3x-1, & x\leqslant a,\\ x-1-2a, & a\leqslant x\leqslant-1,\\ 3x+1-2a, & x\geqslant-1. \end{cases}
三段的斜率分别为 −3-3、11、33，所以函数先递减后递增，最小值在 x=ax=a 处取得，且 f(a)=−a−1f(a)=-a-1. 令 −a−1=5-a-1=5，得 a=−6a=-6.
因此 a=−6a=-6 或 a=4a=4. \end{solution}

2015 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 填空题

查看答案和解析
17概率与统计★★★☆☆
端午节吃粽子是我国的传统习俗. 设一盘中装有 1010 个粽子，其中豆沙粽 22 个，肉粽 33 个，白粽 55 个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 33 个.
(1) 求三种粽子各取到 1 个的概率； (2) 设 XX 表示取到的豆沙粽个数，求 XX 的分布列与数学期望.

2015 · 重庆 · 理 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
18三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(π2−x)sin⁡x−3cos⁡2xf(x) = \sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \sin x - \sqrt{3} \cos^2 x.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期和最大值； (2) 讨论 f(x)f(x) 在 [π6,2π3]\left[\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}\right] 上的单调性.

2015 · 重庆 · 理 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析