棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的 $8$ 个顶点都在球 $O$ 的表面上，$E$，$F$ 分别是棱 $AA_{1}$，$DD_{1}$ 的中点，则直线 $EF$ 被球 $O$ 截得的线段长为（ ）

设集合 $M = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$，$S_1$，$S_2$，$\cdots$，$S_k$ 都是 $M$ 的含两个元素的子集，且满足：

对任意的 $S_i = \{a_i, b_i\}$，$S_j = \{a_j, b_j\}$（$i \neq j$，$i$，$j \in \{1, 2, 3, \cdots, k\}$），都有 $\min \left\{\frac{a_i}{b_i}, \frac{b_i}{a_i}\right\} \neq \min \left\{\frac{a_j}{b_j}, \frac{b_j}{a_j}\right\}$.

（$\min \{x, y\}$ 表示两个数 $x$，$y$ 中的较小者）. 则 $k$ 的最大值是（ ）

已知函数 $f(x) = \cos^2\left(x + \frac{\pi}{12}\right)$，$g(x) = 1 + \frac{1}{2}\sin 2x$.

(1) 设 $x = x_0$ 是函数 $y = f(x)$ 图象的一条对称轴，求 $g(x_0)$ 的值； (2) 求函数 $h(x) = f(x) + g(x)$ 的单调递增区间.

某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力. 每名下岗人员可以选择参加一项培训，参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有 $60\%$，参加过计算机培训的有 $75\%$. 假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.

(1) 任选 $1$ 名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (2) 任选 $3$ 名下岗人员，记 $\xi$ 为 $3$ 人中参加过培训的人数，求 $\xi$ 的分布列和期望.