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01复数★☆☆☆☆
复数 (2i1+i)2\left(\frac{2\mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}}\right)^2 等于（ ）
A.
4i4\mathrm{i}
B.
−4i-4\mathrm{i}
C.
2i2\mathrm{i}
D.
−2i-2\mathrm{i}

2007 · 湖南 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★☆☆☆☆
不等式 x−2x+1⩽0\frac{x - 2}{x + 1} \leqslant 0 的解集是（ ）
A.
(−∞,−1)∪(−1,2](-\infty, -1) \cup (-1, 2]
B.
[−1,2][-1, 2]
C.
(−∞,−1)∪[2,+∞)(-\infty, -1) \cup [2, +\infty)
D.
(−1,2](-1, 2]

2007 · 湖南 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 MM，NN 是两个集合，则 M∪N≠∅M \cup N \neq \emptyset 是“M∩N≠∅M \cap N \neq \emptyset”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分又不必要条件

2007 · 湖南 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 是非零向量，若函数 f(x)=(xa+b)⋅(a−xb)f(x) = (x\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - x\boldsymbol{b}) 的图象是一条直线，则必有（ ）
A.
a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}
B.
a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}
C.
∣a∣=∣b∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|
D.
∣a∣≠∣b∣|\boldsymbol{a}| \neq |\boldsymbol{b}|

2007 · 湖南 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★★☆☆☆
设随机变量 ξ\xi 服从标准正态分布 N(0,1)N(0,1). 已知 Φ(−1.96)=0.025\Phi(-1.96) = 0.025，则 P(∣ξ∣<1.96)=P(|\xi| < 1.96) =（ ）
A.
0.025
B.
0.050
C.
0.950
D.
0.975

2007 · 湖南 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★★★☆
函数
f(x)={4x−4,x⩽1,x2−4x+3,x>1,f(x) = \begin{cases} 4x - 4, & x \leqslant 1,\\ x^2 - 4x + 3, & x > 1, \end{cases}
的图象和函数 g(x)=log⁡2xg(x) = \log_2 x 的图象的交点个数是（ ）
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1

2007 · 湖南 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
下列四个命题中，不正确的是（ ）
A.
若函数 f(x)f(x) 在 x=x0x = x_0 处连续，则 lim⁡x→x0+f(x)=lim⁡x→x0−f(x)\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^-} f(x)
B.
函数 f(x)=x+2x2−4f(x) = \frac{x + 2}{x^2 - 4} 的不连续点是 x=2x = 2 和 x=−2x = -2
C.
若函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 满足 lim⁡x→∞[f(x)−g(x)]=0\lim\limits_{x \to \infty} [f(x) - g(x)] = 0，则 lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞g(x)\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \lim\limits_{x \to \infty} g(x)
D.
lim⁡x→1x−1x−1=12\lim\limits_{x\to 1}\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \frac{1}{2}

2007 · 湖南 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★★☆☆
棱长为 11 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的 88 个顶点都在球 OO 的表面上，EE，FF 分别是棱 AA1AA_{1}，DD1DD_{1} 的中点，则直线 EFEF 被球 OO 截得的线段长为（ ）
A.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
B.
1
C.
1+221 + \frac{\sqrt{2}}{2}
D.
2\sqrt{2}

2007 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★★☆
设 F1F_{1}，F2F_{2} 分别是椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点，若在其右准线上存在 PP，使线段 PF1PF_{1} 的中垂线过点 F2F_{2}，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.
(0,22]\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]
B.
(0,33]\left(0, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]
C.
[22,1)\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)
D.
[33,1)\left[\frac{\sqrt{3}}{3}, 1\right)

2007 · 湖南 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10集合与逻辑基础★★★☆☆
设集合 M={1,2,3,4,5,6}M = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}，S1S_1，S2S_2，⋯\cdots，SkS_k 都是 MM 的含两个元素的子集，且满足：
对任意的 Si={ai,bi}S_i = \{a_i, b_i\}，Sj={aj,bj}S_j = \{a_j, b_j\}（i≠ji \neq j，ii，j∈{1,2,3,⋯ ,k}j \in \{1, 2, 3, \cdots, k\}），都有 min⁡{aibi,biai}≠min⁡{ajbj,bjaj}\min \left\{\frac{a_i}{b_i}, \frac{b_i}{a_i}\right\} \neq \min \left\{\frac{a_j}{b_j}, \frac{b_j}{a_j}\right\}.
（min⁡{x,y}\min \{x, y\} 表示两个数 xx，yy 中的较小者）. 则 kk 的最大值是（ ）
A.
10
B.
11
C.
12
D.
13

2007 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★☆☆☆☆
圆心为 (1,1)(1,1) 且与直线 x+y=4x + y = 4 相切的圆的方程是______.

2007 · 湖南 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12三角函数★☆☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，若 a=1a = 1，b=7b = \sqrt{7}，c=3c = \sqrt{3}，则 B=B =______.

2007 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13导数及其应用★★☆☆☆
函数 f(x)=12x−x3f(x) = 12x - x^3 在区间 [−3,3][-3, 3] 上的最小值是______.

2007 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14集合与逻辑基础★★★★☆
设集合 A={(x,y)∣y⩾12∣x−2∣}A = \left\{(x, y) \mid y \geqslant \frac{1}{2} |x - 2|\right\}，B={(x,y)∣y⩽−∣x∣+b}B = \{(x, y) \mid y \leqslant -|x| + b\}，A∩B≠∅A \cap B \neq \emptyset.
(1) bb 的取值范围是______； (2) 若 (x,y)∈A∩B(x, y) \in A \cap B，且 x+2yx + 2y 的最大值为 99，则 bb 的值是______.

2007 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★★☆
将杨辉三角中的奇数换成 11，偶数换成 00，得到如图所示的 00-11 三角数表. 从上往下数，第 11 次全行的数都为 11 的是第 11 行，第 22 次全行的数都为 11 的是第 33 行，…，第 nn 次全行的数都为 11 的是第______ 行；第 6161 行中 11 的个数是______.
| 第 11 行 | 11 | 11 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 第 22 行 | 11 | 00 | 11 | | 第 33 行 | 11 | 11 | 11 | 11 | | 第 44 行 | 11 | 00 | 00 | 00 | 11 | | 第 55 行 | 11 | 11 | 00 | 00 | 11 | 11 |

2007 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡2(x+π12)f(x) = \cos^2\left(x + \frac{\pi}{12}\right)，g(x)=1+12sin⁡2xg(x) = 1 + \frac{1}{2}\sin 2x.
(1) 设 x=x0x = x_0 是函数 y=f(x)y = f(x) 图象的一条对称轴，求 g(x0)g(x_0) 的值； (2) 求函数 h(x)=f(x)+g(x)h(x) = f(x) + g(x) 的单调递增区间.

2007 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力. 每名下岗人员可以选择参加一项培训，参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有 60%60\%，参加过计算机培训的有 75%75\%. 假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.
(1) 任选 11 名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (2) 任选 33 名下岗人员，记 ξ\xi 为 33 人中参加过培训的人数，求 ξ\xi 的分布列和期望.

2007 · 湖南 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图 1，EE，FF 分别是矩形 ABCDABCD 的边 ABAB，CDCD 的中点，GG 是 EFEF 上的一点，将 △GAB\triangle GAB，△GCD\triangle GCD 分别沿 ABAB，CDCD 翻折成 △G1AB\triangle G_{1}AB，△G2CD\triangle G_{2}CD，并连接 G1G2G_{1}G_{2}，使得平面 G1AB⊥G_{1}AB \perp 平面 ABCDABCD，G1G2∥ADG_{1}G_{2} \parallel AD，且 G1G2<ADG_{1}G_{2} < AD，连接 BG2BG_{2}，如图 2.
(1) 证明：平面 G1AB⊥G_{1}AB \perp 平面 G1ADG2G_{1}ADG_{2}； (2) 当 AB=12AB = 12，BC=25BC = 25，EG=8EG = 8 时，求直线 BG2BG_{2} 和平面 G1ADG2G_{1}ADG_{2} 所成的角.

2007 · 湖南 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点 PP 和居民区 OO 的公路，点 PP 所在的山坡面与山脚所在水平面 α\alpha 所成的二面角为 θ\theta（0∘<θ<90∘0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}），且 sin⁡θ=25\sin \theta = \frac{2}{5}，点 PP 到平面 α\alpha 的距离 PH=0.4 kmPH = 0.4\mathrm{~km}. 沿山脚原有一段笔直的公路 ABAB 可供利用，从点 OO 到山脚修路的造价为 a 万元/kma\text{ 万元}/\mathrm{km}，原有公路改建费用为 a2 万元/km\frac{a}{2}\text{ 万元}/\mathrm{km}，当山坡上公路长度为 l kml\mathrm{~km}（1⩽l⩽21 \leqslant l \leqslant 2）时，其造价为 (l2+1)a 万元(l^{2} + 1)a\text{ 万元}，已知 OA⊥ABOA \perp AB，PB⊥ABPB \perp AB，AB=1.5 kmAB = 1.5\mathrm{~km}，OA=3 kmOA = \sqrt{3}\mathrm{~km}.
(1) 在 ABAB 上求一点 DD，使沿折线 PDAOPDAO 修建公路的总造价最小； (2) 对于上一问得到的点 DD，在 DADA 上求一点 EE，使沿折线 PDEOPDEO 修建公路的总造价最小； (3) 在 ABAB 上是否存在两个不同的点 D′D'，E′E'，使沿折线 PD′E′OPD'E'O 修建公路的总造价小于上一问得到的最小总造价，证明你的结论.

2007 · 湖南 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2−y2=2x^{2} - y^{2} = 2 的左，右焦点分别为 F1F_{1}，F2F_{2}，过点 F2F_{2} 的动直线与双曲线相交于 AA，BB 两点.
(1) 若动点 MM 满足 F1M→=F1A→+F1B→+F1O→\overrightarrow{F_{1}M} = \overrightarrow{F_{1}A} + \overrightarrow{F_{1}B} + \overrightarrow{F_{1}O}（其中 OO 为坐标原点），求点 MM 的轨迹方程； (2) 在 xx 轴上是否存在定点 CC，使 CA→⋅CB→\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} 为常数？若存在，求出点 CC 的坐标；若不存在，请说明理由.

2007 · 湖南 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知 An(an,bn)A_{n}(a_{n}, b_{n})（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）是曲线 y=exy = \mathrm{e}^{x} 上的点，a1=aa_{1} = a，SnS_{n} 是数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，且满足 Sn2=3n2an+Sn−12S_{n}^{2} = 3n^{2}a_{n} + S_{n-1}^{2}，an≠0a_{n} \neq 0，n=2n = 2，33，44，⋯\cdots.
(1) 证明：数列 {bn+2bn}\left\{\frac{b_{n+2}}{b_n}\right\}（n⩾2n \geqslant 2）是常数数列； (2) 确定 aa 的取值集合 MM，使 a∈Ma \in M 时，数列 {an}\{a_n\} 是单调递增数列； (3) 证明：当 a∈Ma \in M 时，弦 AnAn+1A_{n} A_{n+1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）的斜率随 nn 单调递增.

2007 · 湖南 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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