某公司生产甲，乙两种桶装产品. 已知生产甲产品 $1$ 桶需耗 A 原料 $1\text{ 千克}$，B 原料 $2\text{ 千克}$；生产乙产品 $1$ 桶需耗 A 原料 $2\text{ 千克}$，B 原料 $1\text{ 千克}$. 每桶甲产品的利润是 $300\text{ 元}$. 每桶乙产品的利润是 $400\text{ 元}$. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A，B 原料都不超过 $12\text{ 千克}$. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲，乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）$A$ 和 $B$，系统 $A$ 和 $B$ 在任意时刻发生故障的概率分别为 $\frac{1}{10}$ 和 $p$.

(1) 若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 $\frac{49}{50}$，求 $p$ 的值； (2) 设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 $\xi$，求 $\xi$ 的概率分布列及数学期望 $E(\xi)$.

函数 $f(x)=6\cos^2\left(\frac{\omega x}{2}\right)+\sqrt{3}\sin\omega x-3$（$\omega>0$）在一个周期内的图象如图所示，$A$ 为图象的最高点，$B$，$C$ 为图象与 $x$ 轴的交点，且 $\triangle ABC$ 为正三角形.

(1) 求 $\omega$ 的值及函数 $f(x)$ 的值域； (2) 若 $f(x_0) = \frac{8\sqrt{3}}{5}$，且 $x_0 \in \left(-\frac{10}{3}, \frac{2}{3}\right)$，求 $f(x_0 + 1)$ 的值.