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01计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(1+x)7(1 + x)^{7} 的展开式中 x2x^{2} 的系数是（ ）
A.
42
B.
35
C.
28
D.
21

2012 · 四川 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
复数 (1−i)22i=\frac{(1 - \mathrm{i})^2}{2\mathrm{i}} =（ ）
A.
1
B.
−1-1
C.
i\mathrm{i}
D.
−i-\mathrm{i}

2012 · 四川 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
函数
f(x)={x2−9x−3,x<3,ln⁡(x−2),x⩾3,f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{x - 3}, & x < 3,\\ \ln (x - 2), & x \geqslant 3, \end{cases}
在 x=3x = 3 处的极限是（ ）
A.
不存在
B.
等于 6
C.
等于 3
D.
等于 0

2012 · 四川 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
如图，正方形 ABCDABCD 的边长为 11，延长 BABA 至 EE，使 AE=1AE=1，连接 ECEC，EDED，则 sin⁡∠CED=\sin \angle CED =（ ）
A.
31010\frac{3\sqrt{10}}{10}
B.
1010\frac{\sqrt{10}}{10}
C.
510\frac{\sqrt{5}}{10}
D.
515\frac{\sqrt{5}}{15}

2012 · 四川 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★☆☆☆
函数 y=ax−1ay = a^x - \frac{1}{a}（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.

2012 · 四川 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
下列命题正确的是（ ）
A.
若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B.
若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C.
若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D.
若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

2012 · 四川 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 都是非零向量. 下列四个条件中，使 a∣a∣=b∣b∣\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} = \frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|} 成立的充分条件是（ ）
A.
a=−b\boldsymbol{a} = -\boldsymbol{b}
B.
a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}
C.
a=2b\boldsymbol{a} = 2\boldsymbol{b}
D.
∣a∣=∣b∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| 且 a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}

2012 · 四川 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
已知抛物线关于 xx 轴对称，它的顶点在坐标原点 OO，并且经过点 M(2,y0)M(2, y_0). 若点 MM 到该抛物线焦点的距离为 3，则 ∣OM∣=|OM|=（ ）
A.
222\sqrt{2}
B.
232\sqrt{3}
C.
4
D.
252\sqrt{5}

2012 · 四川 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★★★☆☆
某公司生产甲，乙两种桶装产品. 已知生产甲产品 11 桶需耗 A 原料 1 千克1\text{ 千克}，B 原料 2 千克2\text{ 千克}；生产乙产品 11 桶需耗 A 原料 2 千克2\text{ 千克}，B 原料 1 千克1\text{ 千克}. 每桶甲产品的利润是 300 元300\text{ 元}. 每桶乙产品的利润是 400 元400\text{ 元}. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A，B 原料都不超过 12 千克12\text{ 千克}. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲，乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A.
1800 元1800\text{ 元}
B.
2400 元2400\text{ 元}
C.
2800 元2800\text{ 元}
D.
3100 元3100\text{ 元}

2012 · 四川 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★★☆
如图，半径为 RR 的半球 OO 的底面圆 OO 在平面 α\alpha 内，过点 OO 作平面 α\alpha 的垂线交半球面于点 AA，过圆 OO 的直径 CDCD 作与平面 α\alpha 成 45∘45^{\circ} 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面 α\alpha 的距离最大的点为 BB，该交线上的一点 PP 满足 ∠BOP=60∘\angle BOP = 60^{\circ}，则 AA，PP 两点间的球面距离为（ ）
A.
Rarccos⁡24R\arccos\frac{\sqrt{2}}{4}
B.
πR4\frac{\pi R}{4}
C.
Rarccos⁡33R\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}
D.
πR3\frac{\pi R}{3}

2012 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★★★☆
方程 ay=b2x2+cay = b^2 x^2 + c 中的 aa，bb，c∈{−3,−2,0,1,2,3}c \in \{-3, -2, 0, 1, 2, 3\}，且 aa，bb，cc 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A.
60 条
B.
62 条
C.
71 条
D.
80 条

2012 · 四川 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12数列★★★★☆
设函数 f(x)=2x−cos⁡xf(x) = 2x - \cos x，{an}\{a_n\} 是公差为 π8\frac{\pi}{8} 的等差数列，f(a1)+f(a2)+⋯+f(a5)=5πf(a_1) + f(a_2) + \cdots + f(a_5) = 5\pi，则 [f(a3)]2−a1a5=\left[f(a_3)\right]^2 - a_1a_5 =（ ）
A.
0
B.
116π2\frac{1}{16}\pi^2
C.
18π2\frac{1}{8}\pi^2
D.
1316π2\frac{13}{16}\pi^2

2012 · 四川 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设全集 U={a,b,c,d}U = \{a, b, c, d\}，集合 A={a,b}A = \{a, b\}，B={b,c,d}B = \{b, c, d\}，则 (∁UA)∪(∁UB)=\left(\complement_U A\right) \cup \left(\complement_U B\right) =______.

2012 · 四川 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14立体几何初步★★☆☆☆
如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，MM，NN 分别是 CDCD，CC1CC_{1} 的中点，则异面直线 A1MA_{1}M 与 DNDN 所成角的大小是______.

2012 · 四川 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
椭圆 x24+y23=1\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 的左焦点为 FF，直线 x=mx = m 与椭圆相交于点 AA，BB. 当 △FAB\triangle FAB 的周长最大时，△FAB\triangle FAB 的面积是______.

2012 · 四川 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16数列★★★★★
记 [x][x] 为不超过实数 xx 的最大整数，例如，[2][2] = 22，[1.5][1.5] = 11，[−0.3][{-0.3}] = −1-1. 设 aa 为正整数，数列 {xn}\{x_n\} 满足 x1=ax_1 = a，xn+1=[xn+[axn]2]x_{n+1} = \left[\dfrac{x_n + \left[\dfrac{a}{x_n}\right]}{2}\right]（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），现有下列命题：
① 当 a=5a=5 时，数列 {xn}\{x_n\} 的前3项依次为 55，33，22； ② 对数列 {xn}\{x_n\} 都存在正整数 kk，当 n⩾kn\geqslant k 时总有 xn=xkx_n=x_k； ③ 当 n⩾1n\geqslant1 时，xn>a−1x_n>\sqrt a-1； ④ 对某个正整数 kk，若 xk+1⩾xkx_{k+1}\geqslant x_k，则 xk=[a]x_k=[\sqrt a].
其中的真命题有______（写出所有真命题的编号）

2012 · 四川 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17概率与统计★★★☆☆
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）AA 和 BB，系统 AA 和 BB 在任意时刻发生故障的概率分别为 110\frac{1}{10} 和 pp.
(1) 若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 4950\frac{49}{50}，求 pp 的值； (2) 设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ξ\xi，求 ξ\xi 的概率分布列及数学期望 E(ξ)E(\xi).

2012 · 四川 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=6cos⁡2(ωx2)+3sin⁡ωx−3f(x)=6\cos^2\left(\frac{\omega x}{2}\right)+\sqrt{3}\sin\omega x-3（ω>0\omega>0）在一个周期内的图象如图所示，AA 为图象的最高点，BB，CC 为图象与 xx 轴的交点，且 △ABC\triangle ABC 为正三角形.
(1) 求 ω\omega 的值及函数 f(x)f(x) 的值域； (2) 若 f(x0)=835f(x_0) = \frac{8\sqrt{3}}{5}，且 x0∈(−103,23)x_0 \in \left(-\frac{10}{3}, \frac{2}{3}\right)，求 f(x0+1)f(x_0 + 1) 的值.

2012 · 四川 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 P−ABCP - ABC 中，∠APB=90∘\angle APB = 90^{\circ}，∠PAB=60∘\angle PAB = 60^{\circ}，AB=BC=CAAB = BC = CA，平面 PAB⊥PAB \perp 平面 ABCABC.
(1) 求直线 PCPC 与平面 ABCABC 所成角的正弦值； (2) 求二面角 B−AP−CB - AP - C 的余弦值.

2012 · 四川 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，且 a2an=S2+Sna_{2}a_{n} = S_{2} + S_{n} 对一切正整数 nn 都成立.
(1) 求 a1a_{1}，a2a_{2} 的值； (2) 设 a1>0a_{1} > 0，数列 {lg⁡10a1an}\left\{\lg \frac{10a_{1}}{a_{n}}\right\} 的前 nn 项和为 TnT_{n}，当 nn 为何值时，TnT_{n} 最大，并求出 TnT_{n} 的最大值.

2012 · 四川 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，动点 MM 与两定点 A(−1,0)A(-1,0)，B(2,0)B(2,0) 构成 △MAB\triangle MAB，且 ∠MBA=2∠MAB\angle MBA = 2\angle MAB，设动点 MM 的轨迹为 CC.
(1) 求轨迹 CC 的方程； (2) 设直线 y=−2x+my = -2x + m 与 yy 轴相交于点 PP，与轨迹 CC 相交于点 QQ，RR，且 ∣PQ∣<∣PR∣|PQ| < |PR|，求 ∣PR∣∣PQ∣\frac{|PR|}{|PQ|} 的取值范围.

2012 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知 aa 为正实数，nn 为自然数，抛物线 y=−x2+an2y = -x^{2} + \frac{a^{n}}{2} 与 xx 轴正半轴相交于点 AA，设 f(n)f(n) 为该抛物线在点 AA 处切的切线在 yy 轴上的截距.
(1) 用 aa 和 nn 表示 f(n)f(n)； (2) 求对所有 nn 都有 f(n)−1f(n)+1⩾n3n3+1\frac{f(n) - 1}{f(n) + 1} \geqslant \frac{n^3}{n^3 + 1} 成立的 aa 的最小值； (3) 当 0<a<10 < a < 1 时，比较 ∑k=1n1f(k)−f(2k)\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{f(k) - f(2k)} 与 274⋅f(1)−f(n)f(0)−f(1)\frac{27}{4} \cdot \frac{f(1) - f(n)}{f(0) - f(1)} 的大小，并说明理由.

2012 · 四川 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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