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06解析几何★★★☆☆
双曲线虚轴的一个端点为 MM，两个焦点为 F1F_{1}，F2F_{2}，∠F1MF2=120∘\angle F_{1}MF_{2} = 120^{\circ}，则双曲线的离心率为（\quad）
A.
3\sqrt{3}
B.
62\frac{\sqrt{6}}{2}
C.
63\frac{\sqrt{6}}{3}
D.
33\frac{\sqrt{3}}{3}

2003 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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08平面向量★★★☆☆
OO 是平面上一定点，AA，BB，CC 是平面上不共线的三个点，动点 PP 满足 OP→=OA→+λ(AB→∣AB→∣+AC→∣AC→∣)\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda \left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)，λ∈[0,+∞)\lambda \in [0,+\infty)，则 PP 的轨迹一定通过 △ABC\triangle ABC 的（\quad）
A.
外心
B.
内心
C.
重心
D.
垂心

2003 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★☆☆
棱长为 aa 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（\quad）
A.
a33\frac{a^3}{3}
B.
a34\frac{a^3}{4}
C.
a36\frac{a^3}{6}
D.
a312\frac{a^3}{12}

2003 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11导数及其应用★★★☆☆
设 a>0a > 0，f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c，曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 P(x0,f(x0))P(x_0, f(x_0)) 处切线的倾斜角的取值范围为 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right]，则 PP 到曲线 y=f(x)y = f(x) 对称轴距离的取值范围为（\quad）
A.
[0,1a]\left[0, \frac{1}{a}\right]
B.
[0,12a]\left[0, \frac{1}{2a}\right]
C.
[0,∣b2a∣]\left[0, \left|\frac{b}{2a}\right|\right]
D.
[0,∣b−12a∣]\left[0, \left|\frac{b-1}{2a}\right|\right]

2003 · 天津 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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13立体几何初步★★★☆☆
一个四面体的所有棱长都为 2\sqrt{2}，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（\quad）
A.
3π3\pi
B.
4π4\pi
C.
33π3\sqrt{3}\pi
D.
6π6\pi

2003 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 选择题

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17计数原理与组合数学★★★☆☆
将 33 种作物种植在如图 55 块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有______ 种.（以数字作答）

2003 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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18立体几何初步★★★☆☆
已知正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，AB=1AB = 1，AA1=2AA_{1} = 2，EE 为 CC1CC_{1} 中点，FF 为 BD1BD_{1} 中点.
(1) 证明： EFEF 为 BD1BD_{1} 与 CC1CC_{1} 的公垂线； (2) 求点 D1D_{1} 到面 BDEBDE 的距离.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 取 AA 为原点，AB→\overrightarrow{AB}、AD→\overrightarrow{AD}、AA1→\overrightarrow{AA_{1}} 分别为 xx、yy、zz 轴的正向，建立直角坐标系，则 B(1,0,0)B(1,0,0)、C(1,1,0)C(1,1,0)、D(0,1,0)D(0,1,0)、D1(0,1,2)D_{1}(0,1,2)、C1(1,1,2)C_{1}(1,1,2)，从而 E(1,1,1)E(1,1,1)、F(12,12,1)F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right).
于是 EF→=(−12,−12,0)\overrightarrow{EF}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0\right)、BD1→=(−1,1,2)\overrightarrow{BD_{1}}=(-1,1,2)、CC1→=(0,0,2)\overrightarrow{CC_{1}}=(0,0,2)，故 EF→⋅BD1→=0\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{BD_{1}}=0，EF→⋅CC1→=0\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{CC_{1}}=0. 又 F∈BD1F\in BD_{1}，E∈CC1E\in CC_{1}，所以 EFEF 同时垂直于 BD1BD_{1} 和 CC1CC_{1}，即 EFEF 为它们的公垂线.
\item BD→=(−1,1,0)\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)，BE→=(0,1,1)\overrightarrow{BE}=(0,1,1). 取平面 BDEBDE 的一个法向量为
n=BD→×BE→=(1,1,−1)\boldsymbol{n}=\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{BE}=(1,1,-1)
因此平面 BDEBDE 的方程为 x+y−z−1=0x+y-z-1=0. 点 D1(0,1,2)D_{1}(0,1,2) 到该平面的距离为
d=∣0+1−2−1∣12+12+(−1)2=23=233d=\frac{|0+1-2-1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}
\end{enumerate} \end{solution}

2003 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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