某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案；方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用；要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小；例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图 1，则最优设计方案如图 2；此时铺设道路的最小总费用为 10. 现给出该地区可铺设道路的线路图如图 3，则铺设道路的最小总费用为______.

在等差数列 $\{a_{n}\}$ 和等比数列 $\{b_{n}\}$ 中，$a_{1} = b_{1} = 1$，$b_{4} = 8$，$\{a_{n}\}$ 的前 10 项和 $S_{10} = 55$.

(1) 求 $a_{n}$ 和 $b_{n}$； (2) 现分别从 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前 3 项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率.

某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

(1) 求回归直线方程 $\hat{y} = bx + a$，其中 $b = -20$， $a = \overline{y} - b\overline{x}$； (2) 预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是$4\text{ 元/件}$，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少$\text{元}$？（$\text{利润}=\text{销售收入}-\text{成本}$）

如图，在长方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$AB = AD = 1$，$AA_{1} = 2$，$M$ 为棱 $DD_{1}$ 上的一点.

(1) 求三棱锥 $A - MCC_{1}$ 的体积； (2) 当 $A_{1}M + MC$ 取得最小值时，求证： $B_{1}M \perp$ 平面 $MAC$.

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

① $\sin^{2}13^{\circ}+\cos^{2}17^{\circ}-\sin13^{\circ}\cos17^{\circ}$； ② $\sin^{2}15^{\circ}+\cos^{2}15^{\circ}-\sin15^{\circ}\cos15^{\circ}$； ③ $\sin^{2}18^{\circ}+\cos^{2}12^{\circ}-\sin18^{\circ}\cos12^{\circ}$； ④ $\sin^{2}(-18^{\circ})+\cos^{2}48^{\circ}-\sin(-18^{\circ})\cos48^{\circ}$； ⑤ $\sin^{2}(-25^{\circ})+\cos^{2}55^{\circ}-\sin(-25^{\circ})\cos55^{\circ}$.

(1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.