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01复数★☆☆☆☆
复数 (2+i)2(2 + \mathrm{i})^2 等于（ ）
A.
3+4i3 + 4\mathrm{i}
B.
5+4i5 + 4\mathrm{i}
C.
3+2i3 + 2\mathrm{i}
D.
5+2i5 + 2\mathrm{i}

2012 · 福建 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 M={1,2,3,4}M = \{1, 2, 3, 4\}，N={−2,2}N = \{-2, 2\}，下列结论成立的是（ ）
A.
N⊆MN \subseteq M
B.
M∪N=MM \cup N = M
C.
M∩N=NM \cap N = N
D.
M∩N={2}M \cap N = \{2\}

2012 · 福建 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03平面向量★☆☆☆☆
已知向量 a=(x−1,2)\boldsymbol{a} = (x - 1, 2)，b=(2,1)\boldsymbol{b} = (2, 1)，则 a⊥b\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} 的充要条件是（ ）
A.
x=−12x = -\frac{1}{2}
B.
x=−1x = -1
C.
x=5x = 5
D.
x=0x = 0

2012 · 福建 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★☆☆☆☆
一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）
A.
球
B.
三棱锥
C.
正方体
D.
圆柱

2012 · 福建 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★☆☆☆☆
已知双曲线 x2a2−y25=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{5} = 1 的右焦点为(3,0)(3,0)，则该双曲线的离心率等于（ ）
A.
31414\frac{3\sqrt{14}}{14}
B.
324\frac{3\sqrt{2}}{4}
C.
32\frac{3}{2}
D.
43\frac{4}{3}

2012 · 福建 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 ss 值等于（ ）
A.
−3-3
B.
−10-10
C.
00
D.
−2-2

2012 · 福建 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
直线 x+3y−2=0x + \sqrt{3} y - 2 = 0 与圆 x2+y2=4x^{2} + y^{2} = 4 相交于 AA，BB 两点，则弦 ABAB 的长度等于（ ）
A.
252 \sqrt{5}
B.
232 \sqrt{3}
C.
3\sqrt{3}
D.
11

2012 · 福建 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=sin⁡(x−π4)f(x) = \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right) 的图象的一条对称轴是（ ）
A.
x=π4x = \frac{\pi}{4}
B.
x=π2x = \frac{\pi}{2}
C.
x=−π4x = -\frac{\pi}{4}
D.
x=−π2x = -\frac{\pi}{2}

2012 · 福建 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★☆☆☆☆
设
f(x)={1,x>0,0,x=0,−1,x<0,g(x)={1,x为有理数,0,x为无理数,f(x) = \begin{cases} 1, & x > 0,\\ 0, & x = 0,\\ -1, & x < 0, \end{cases} \qquad g(x) = \begin{cases} 1, & x \text{为有理数},\\ 0, & x \text{为无理数}, \end{cases}
则 f(g(π))f(g(\pi)) 的值为（ ）
A.
11
B.
00
C.
−1-1
D.
π\pi

2012 · 福建 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10不等式★★☆☆☆
若直线 y=2xy = 2x 上存在点 (x,y)(x, y) 满足约束条件
{x+y−3⩽0,x−2y−3⩽0,x⩾m.\begin{cases} x + y - 3 \leqslant 0,\\ x - 2y - 3 \leqslant 0,\\ x \geqslant m. \end{cases}
则实数 mm 的最大值为（ ）
A.
−1-1
B.
11
C.
32\frac{3}{2}
D.
22

2012 · 福建 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11数列★★☆☆☆
数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式 an=ncos⁡nπ2a_{n} = n\cos \frac{n\pi}{2}，其前 nn 项和为 SnS_{n}，则 S2012S_{2012} 等于（ ）
A.
10061006
B.
20122012
C.
503503
D.
00

2012 · 福建 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知 f(x)=x3−6x2+9x−abcf(x)=x^{3}-6x^{2}+9x-abc，a<b<ca<b<c，且 f(a)=f(b)=f(c)=0f(a)=f(b)=f(c)=0. 现给出如下结论：
① f(0)f(1)>0f(0)f(1)>0； ② f(0)f(1)<0f(0)f(1)<0； ③ f(0)f(3)>0f(0)f(3)>0； ④ f(0)f(3)<0f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是（ ）
A.
①③
B.
①④
C.
②③
D.
②④

2012 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13三角函数★☆☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^{\circ}，∠ABC=45∘\angle ABC = 45^{\circ}，BC=3BC = \sqrt{3}，则 AC=AC =______.

2012 · 福建 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14概率与统计★☆☆☆☆
一支田径队有男女运动员 98 人98\text{ 人}，其中男运动员有 56 人56\text{ 人}. 按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为 2828 的样本，那么应抽取女运动员人数是______.

2012 · 福建 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15不等式★★☆☆☆
已知关于 xx 的不等式 x2−ax+2a>0x^{2} - ax + 2a > 0 在 R\mathbf{R} 上恒成立，则实数 aa 的取值范围是______.

2012 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案；方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用；要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小；例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图 1，则最优设计方案如图 2；此时铺设道路的最小总费用为 10. 现给出该地区可铺设道路的线路图如图 3，则铺设道路的最小总费用为______.

2012 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17数列★★★☆☆
在等差数列 {an}\{a_{n}\} 和等比数列 {bn}\{b_{n}\} 中，a1=b1=1a_{1} = b_{1} = 1，b4=8b_{4} = 8，{an}\{a_{n}\} 的前 10 项和 S10=55S_{10} = 55.
(1) 求 ana_{n} 和 bnb_{n}； (2) 现分别从 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 的前 3 项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率.

2012 · 福建 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价 xx（元\text{元}）888.28.28.48.48.68.68.88.899
销量 yy（件\text{件}）909084848383808075756868
(1) 求回归直线方程 y^=bx+a\hat{y} = bx + a，其中 b=−20b = -20， a=y‾−bx‾a = \overline{y} - b\overline{x}； (2) 预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4 元/件4\text{ 元/件}，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元\text{元}？（利润=销售收入−成本\text{利润}=\text{销售收入}-\text{成本}）

2012 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=AD=1AB = AD = 1，AA1=2AA_{1} = 2，MM 为棱 DD1DD_{1} 上的一点.
(1) 求三棱锥 A−MCC1A - MCC_{1} 的体积； (2) 当 A1M+MCA_{1}M + MC 取得最小值时，求证： B1M⊥B_{1}M \perp 平面 MACMAC.

2012 · 福建 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20三角函数★★★☆☆
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
① sin⁡213∘+cos⁡217∘−sin⁡13∘cos⁡17∘\sin^{2}13^{\circ}+\cos^{2}17^{\circ}-\sin13^{\circ}\cos17^{\circ}； ② sin⁡215∘+cos⁡215∘−sin⁡15∘cos⁡15∘\sin^{2}15^{\circ}+\cos^{2}15^{\circ}-\sin15^{\circ}\cos15^{\circ}； ③ sin⁡218∘+cos⁡212∘−sin⁡18∘cos⁡12∘\sin^{2}18^{\circ}+\cos^{2}12^{\circ}-\sin18^{\circ}\cos12^{\circ}； ④ sin⁡2(−18∘)+cos⁡248∘−sin⁡(−18∘)cos⁡48∘\sin^{2}(-18^{\circ})+\cos^{2}48^{\circ}-\sin(-18^{\circ})\cos48^{\circ}； ⑤ sin⁡2(−25∘)+cos⁡255∘−sin⁡(−25∘)cos⁡55∘\sin^{2}(-25^{\circ})+\cos^{2}55^{\circ}-\sin(-25^{\circ})\cos55^{\circ}.
(1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

2012 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
如图，等边三角形 OABOAB 的边长为 838\sqrt{3}，且其三个顶点均在抛物线 E:x2=2pyE: x^{2} = 2py（p>0p > 0）上.
(1) 求抛物线 EE 的方程； (2) 设动直线 ll 与抛物线 EE 相切于点 PP，与直线 y=−1y=-1 相交于点 QQ；证明：以 PQPQ 为直径的圆恒过 yy 轴上某定点.

2012 · 福建 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=axsin⁡x−32f(x) = ax \sin x - \frac{3}{2}，a∈Ra \in \mathbf{R}，且在 [0,π2][0, \frac{\pi}{2}] 上的最大值为 π−32\frac{\pi - 3}{2}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 判断函数 f(x)f(x) 在 (0,π)(0, \pi) 内的零点个数，并加以证明.

2012 · 福建 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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