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04函数与初等函数★★★☆☆
设函数 f(x)=13x−ln⁡xf(x) = \frac{1}{3} x - \ln x（x>0x > 0），则 y=f(x)y = f(x)（ ）
A.
在区间 (1e,1)\left(\frac{1}{\mathrm{e}},1\right)，(1,e)\left(1,\mathrm{e}\right) 内均有零点
B.
在区间 (1e,1)\left(\frac{1}{\mathrm{e}},1\right)，(1,e)\left(1,\mathrm{e}\right) 内均无零点
C.
在区间 (1e,1)\left(\frac{1}{\mathrm{e}},1\right) 内有零点，在区间 (1,e)\left(1,\mathrm{e}\right) 内无零点
D.
在区间 (1e,1)\left(\frac{1}{\mathrm{e}},1\right) 内无零点，在区间 (1,e)\left(1,\mathrm{e}\right) 内有零点

2009 · 天津 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
设 a>0a > 0，b>0b > 0. 若 3\sqrt{3} 是 3a3^{a} 与 3b3^{b} 的等比中项，则 1a+1b\frac{1}{a} + \frac{1}{b} 的最小值为（ ）
A.
88
B.
44
C.
11
D.
14\frac{1}{4}

2009 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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14解析几何★★★☆☆
若圆 x2+y2=4x^{2} + y^{2} = 4 与圆 x2+y2+2ay−6=0x^{2} + y^{2} + 2ay - 6 = 0（a>0a > 0）的公共弦的长为 232\sqrt{3}，则 a=a =______.

2009 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
用数字 00，11，22，33，44，55，66 组成没有重复数字的四位数，其中个位，十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______ 个. （用数字作答）

2009 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，BC=5BC = \sqrt{5}，AC=3AC = 3，sin⁡C=2sin⁡A\sin C = 2\sin A.
(1) 求 ABAB 的值. (2) 求 sin⁡(2A−π4)\sin\left(2A-\frac{\pi}{4}\right) 的值.

2009 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
在 1010 件产品中，有 33 件一等品，44 件二等品，33 件三等品. 从这 1010 件产品中任取 33 件，求：
(1) 取出的 33 件产品中一等品件数 XX 的分布列和数学期望. (2) 取出的 33 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.

2009 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在五面体 ABCDEFABCDEF 中，FA⊥FA \perp 平面 ABCDABCD，AD∥BC∥FEAD \parallel BC \parallel FE，AB⊥ADAB \perp AD，MM 为 ECEC 的中点，AF=AB=BC=FE=12ADAF = AB = BC = FE = \frac{1}{2} AD.
(1) 求异面直线 BFBF 与 DEDE 所成角的大小. (2) 证明平面 AMD⊥AMD \perp 平面 CDECDE. (3) 求二面角 A−CD−EA - CD - E 的余弦值.

2009 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=(x2+ax−2a2+3a)exf(x) = (x^{2} + ax - 2a^{2} + 3a)\mathrm{e}^{x}（x∈Rx \in \mathbf{R}），其中 a∈Ra \in \mathbf{R}.
(1) 当 a=0a = 0 时，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线的斜率. (2) 当 a≠23a \neq \frac{2}{3} 时，求函数 f(x)f(x) 的单调区间与极值.

2009 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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