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06立体几何初步★★★☆☆
如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm8\mathrm{~cm}，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm6\mathrm{~cm}，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A.
500π3 cm3\frac{500\pi}{3}\mathrm{~cm}^{3}
B.
866π3 cm3\frac{866\pi}{3}\mathrm{~cm}^{3}
C.
1372π3 cm3\frac{1372\pi}{3}\mathrm{~cm}^{3}
D.
2048π3 cm3\frac{2048\pi}{3}\mathrm{~cm}^{3}

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的右焦点为 F(3,0)F\left(3,0\right)，过点 FF 的直线交 EE 于 AA，BB 两点. 若 ABAB 的中点坐标为 (1,−1)\left(1, -1\right)，则 EE 的方程为（ ）
A.
x245+y236=1\frac{x^2}{45} + \frac{y^2}{36} = 1
B.
x236+y227=1\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{27} = 1
C.
x227+y218=1\frac{x^2}{27} + \frac{y^2}{18} = 1
D.
x218+y29=1\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11不等式★★★☆☆
已知函数
f(x)={−x2+2x,x⩽0,ln⁡(x+1),x>0,f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x, & x \leqslant 0,\\ \ln\left(x + 1\right), & x > 0, \end{cases}
若 ∣f(x)∣⩾ax|f(x)| \geqslant ax，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
B.
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
C.
[−2,1]\left[-2, 1\right]
D.
[−2,0]\left[-2, 0\right]

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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15三角函数★★★☆☆
设当 x=θx = \theta 时，函数 f(x)=sin⁡x−2cos⁡xf(x) = \sin x - 2\cos x 取得最大值，则 cos⁡θ=‾\cos \theta =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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19概率与统计★★★☆☆
一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 44 件作检验，这 44 件产品中优质品的件数记为 nn. 如果 n=3n = 3，再从这批产品中任取 44 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=4n = 4，再从这批产品中任取 11 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为 50%50\%. 即取出的产品是优质品的概率都为 12\frac{1}{2}，且各件产品是否为优质品相互独立.
(1) 求这批产品通过检验的概率； (2) 已知每件产品检验费用为 100 元100\text{ 元}，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 XX（单位：元），求 XX 的分布列及数学期望.

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
已知曲线 C1C_1 的参数方程为
{x=4+5cos⁡t,y=5+5sin⁡t,\begin{cases} x = 4 + 5\cos t,\\ y = 5 + 5\sin t, \end{cases}
（tt 为参数），以坐标原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线 C2C_2 的极坐标方程为 ρ=2sin⁡θ\rho = 2\sin \theta.
(1) 把 C1C_1 的参数方程化为极坐标方程； (2) 求 C1C_1 与 C2C_2 交点的极坐标 （ρ⩾0,0⩽θ<2π\rho \geqslant 0, 0 \leqslant \theta < 2\pi）.

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣2x−1∣+∣2x+a∣f(x) = |2x - 1| + |2x + a|，g(x)=x+3g(x) = x + 3.
(1) 当 a=−2a = -2 时，求不等式 f(x)<g(x)f(x) < g(x) 的解集； (2) 设 a>−1a > -1，且当 x∈[−a2,12]x \in \left[-\frac{a}{2}, \frac{1}{2}\right] 时，f(x)⩽g(x)f(x) \leqslant g(x)，求 aa 的取值范围.

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