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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣x2−2x>0}A = \{x \mid x^2 - 2x > 0\}，B={x∣−5<x<5}B = \{x \mid -\sqrt{5} < x < \sqrt{5}\}，则（ ）
A.
A∩B=∅A \cap B = \varnothing
B.
A∪B=RA \cup B = \mathbf{R}
C.
B⊆AB \subseteq A
D.
A⊆BA \subseteq B

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
若复数 zz 满足 (3−4i)z=∣4+3i∣\left(3 - 4\mathrm{i}\right)z = \left|4 + 3\mathrm{i}\right|，则 zz 的虚部为（ ）
A.
−4-4
B.
−45-\frac{4}{5}
C.
4
D.
45\frac{4}{5}

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03概率与统计★☆☆☆☆
为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学，初中，高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A.
简单随机抽样
B.
按性别分层抽样
C.
按学段分层抽样
D.
系统抽样

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★☆☆☆☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的离心率为 52\frac{\sqrt{5}}{2}，则 CC 的渐近线方程为（ ）
A.
y=±14xy = \pm \frac{1}{4} x
B.
y=±13xy = \pm \frac{1}{3}x
C.
y=±12xy = \pm \frac{1}{2} x
D.
y=±xy = \pm x

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★☆☆☆
执行下面的程序框图，若输入的 t∈[−1,3]t \in \left[-1, 3\right]，则输出的 ss 属于（ ）
A.
[−3,4]\left[-3, 4\right]
B.
[−5,2]\left[-5, 2\right]
C.
[−4,3]\left[-4, 3\right]
D.
[−2,5]\left[-2, 5\right]

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★★☆☆
如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm8\mathrm{~cm}，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm6\mathrm{~cm}，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A.
500π3 cm3\frac{500\pi}{3}\mathrm{~cm}^{3}
B.
866π3 cm3\frac{866\pi}{3}\mathrm{~cm}^{3}
C.
1372π3 cm3\frac{1372\pi}{3}\mathrm{~cm}^{3}
D.
2048π3 cm3\frac{2048\pi}{3}\mathrm{~cm}^{3}

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07数列★★☆☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，Sm−1=−2S_{m-1} = -2，Sm=0S_{m} = 0，Sm+1=3S_{m+1} = 3，则 m=m =（ ）
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★☆☆☆
某几何体的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）
A.
16+8π16 + 8\pi
B.
8+8π8 + 8\pi
C.
16+16π16 + 16\pi
D.
8+16π8 + 16\pi

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
设 mm 为正整数，(x+y)2m\left(x + y\right)^{2m} 展开式的二项式系数的最大值为 aa，(x+y)2m+1\left(x + y\right)^{2m + 1} 展开式的二项式系数的最大值为 bb，若 13a=7b13a = 7b，则 m=m =（ ）
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8

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10解析几何★★★☆☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的右焦点为 F(3,0)F\left(3,0\right)，过点 FF 的直线交 EE 于 AA，BB 两点. 若 ABAB 的中点坐标为 (1,−1)\left(1, -1\right)，则 EE 的方程为（ ）
A.
x245+y236=1\frac{x^2}{45} + \frac{y^2}{36} = 1
B.
x236+y227=1\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{27} = 1
C.
x227+y218=1\frac{x^2}{27} + \frac{y^2}{18} = 1
D.
x218+y29=1\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11不等式★★★☆☆
已知函数
f(x)={−x2+2x,x⩽0,ln⁡(x+1),x>0,f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x, & x \leqslant 0,\\ \ln\left(x + 1\right), & x > 0, \end{cases}
若 ∣f(x)∣⩾ax|f(x)| \geqslant ax，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
B.
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
C.
[−2,1]\left[-2, 1\right]
D.
[−2,0]\left[-2, 0\right]

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12数列★★★★☆
设 △AnBnCn\triangle A_{n}B_{n}C_{n} 的三边长分别为 ana_{n}，bnb_{n}，cnc_{n}，△AnBnCn\triangle A_{n}B_{n}C_{n} 的面积为 SnS_{n}，n=1n = 1，22，33，⋯\cdots，若 b1>c1b_{1} > c_{1}，b1+c1=2a1b_{1} + c_{1} = 2a_{1}，an+1=ana_{n+1} = a_{n}，bn+1=cn+an2b_{n+1} = \frac{c_{n} + a_{n}}{2}，cn+1=bn+an2c_{n+1} = \frac{b_{n} + a_{n}}{2}，则（ ）
A.
{Sn}\{S_{n}\} 为递减数列
B.
{Sn}\{S_{n}\} 为递增数列
C.
{S2n−1}\{S_{2n - 1}\} 为递增数列，{S2n}\{S_{2n}\} 为递减数列
D.
{S2n−1}\{S_{2n - 1}\} 为递减数列，{S2n}\{S_{2n}\} 为递增数列

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13平面向量★★☆☆☆
已知两个单位向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角为 60∘60^{\circ}，c=ta+(1−t)b\boldsymbol{c} = t\boldsymbol{a} + (1 - t)\boldsymbol{b}，若 b⋅c=0\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} = 0，则 t=‾t =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
若数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 Sn=23an+13S_{n}=\frac{2}{3}a_{n}+\frac{1}{3}，则数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式是 an=a_{n}=______.

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15三角函数★★★☆☆
设当 x=θx = \theta 时，函数 f(x)=sin⁡x−2cos⁡xf(x) = \sin x - 2\cos x 取得最大值，则 cos⁡θ=‾\cos \theta =\underline{\hspace{2em}}.

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16函数与初等函数★★★★☆
若函数 f(x)=(1−x2)(x2+ax+b)f(x) = \left(1 - x^2\right)\left(x^2 + ax + b\right) 的图象关于直线 x=−2x = -2 对称，则 f(x)f(x) 的最大值是______.

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★★☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ}，AB=3AB = \sqrt{3}，BC=1BC = 1，PP 为 △ABC\triangle ABC 内一点，∠BPC=90∘\angle BPC = 90^{\circ}.
(1) 若 PB=12PB = \frac{1}{2}，求 PAPA； (2) 若 ∠APB=150∘\angle APB = 150^{\circ}，求 tan⁡∠PBA\tan \angle PBA.

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，CA=CBCA = CB，AB=AA1AB = AA_{1}，∠BAA1=60∘\angle BAA_{1} = 60^{\circ}.
(1) 证明： AB⊥A1CAB \perp A_{1}C； (2) 若平面 ABC⊥ABC \perp 平面 AA1B1BAA_{1}B_{1}B，AB=CBAB = CB，求直线 A1CA_{1}C 与平面 BB1C1CBB_{1}C_{1}C 所成角的正弦值.

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19概率与统计★★★☆☆
一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 44 件作检验，这 44 件产品中优质品的件数记为 nn. 如果 n=3n = 3，再从这批产品中任取 44 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=4n = 4，再从这批产品中任取 11 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为 50%50\%. 即取出的产品是优质品的概率都为 12\frac{1}{2}，且各件产品是否为优质品相互独立.
(1) 求这批产品通过检验的概率； (2) 已知每件产品检验费用为 100 元100\text{ 元}，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 XX（单位：元），求 XX 的分布列及数学期望.

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知圆 M:(x+1)2+y2=1M: \left(x + 1\right)^2 + y^2 = 1，圆 N:(x−1)2+y2=9N: \left(x - 1\right)^2 + y^2 = 9，动圆 PP 与圆 MM 外切并与圆 NN 内切，圆心 PP 的轨迹为曲线 CC.
(1) 求 CC 的方程； (2) ll 是与圆 PP，圆 MM 都相切的一条直线，ll 与曲线 CC 交于 AA，BB 两点，当圆 PP 的半径最长时，求 ∣AB∣|AB|.

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b，g(x)=ex(cx+d)g(x) = \mathrm{e}^x\left(cx + d\right)，若曲线 y=f(x)y = f(x) 和曲线 y=g(x)y = g(x) 都过点 P(0,2)P\left(0,2\right)，且在点 PP 处有相同的切线 y=4x+2y = 4x + 2.
(1) 求 aa，bb，cc，dd 的值； (2) 若 x⩾−2x \geqslant -2 时，f(x)⩽kg(x)f(x) \leqslant kg(x)，求 kk 的取值范围.

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★☆
如图，直线 ABAB 为圆的切线，切点为 BB，点 CC 在圆上，∠ABC\angle ABC 的角平分线 BEBE 交圆于点 EE，DBDB 垂直 BEBE 交圆于 DD.
(1) 证明： DB=DCDB = DC； (2) 设圆的半径为 11，BC=3BC = \sqrt{3}，延长 CECE 交 ABAB 于点 FF，求 △BCF\triangle BCF 外接圆的半径.

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
已知曲线 C1C_1 的参数方程为
{x=4+5cos⁡t,y=5+5sin⁡t,\begin{cases} x = 4 + 5\cos t,\\ y = 5 + 5\sin t, \end{cases}
（tt 为参数），以坐标原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线 C2C_2 的极坐标方程为 ρ=2sin⁡θ\rho = 2\sin \theta.
(1) 把 C1C_1 的参数方程化为极坐标方程； (2) 求 C1C_1 与 C2C_2 交点的极坐标 （ρ⩾0,0⩽θ<2π\rho \geqslant 0, 0 \leqslant \theta < 2\pi）.

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣2x−1∣+∣2x+a∣f(x) = |2x - 1| + |2x + a|，g(x)=x+3g(x) = x + 3.
(1) 当 a=−2a = -2 时，求不等式 f(x)<g(x)f(x) < g(x) 的解集； (2) 设 a>−1a > -1，且当 x∈[−a2,12]x \in \left[-\frac{a}{2}, \frac{1}{2}\right] 时，f(x)⩽g(x)f(x) \leqslant g(x)，求 aa 的取值范围.

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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