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08复数★★★☆☆
已知复数 z=cos⁡α+isin⁡αz = \cos \alpha + \mathrm{i}\sin \alpha，求证：z3+1z3=2cos⁡3αz^3 + \frac{1}{z^3} = 2\cos 3\alpha.

1983 · 全国 · 文 · 第 8 题 · 解答题

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09不等式★★★☆☆
在圆心为 OO，半径为常数 RR 的半圆板内画内接矩形（如图），当矩形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积.

1983 · 全国 · 文 · 第 9 题 · 解答题

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10三角函数★★★☆☆
如图，地平面上有一旗杆 OPOP，为了测得它的高度 hh，在地面上选一基线 ABAB，AB=20 米AB=20\text{ 米}，在 AA 点处测得 PP 点的仰角 ∠OAP=30∘\angle OAP=30^{\circ}，在 BB 点处测得 PP 点的仰角 ∠OBP=45∘\angle OBP=45^{\circ}，又测得 ∠AOB=60∘\angle AOB=60^{\circ}，求旗杆的高度 hh（结果可以保留根号）.

1983 · 全国 · 文 · 第 10 题 · 解答题

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12数列★★★☆☆
一个等比数列有三项，如果把第二项加上 44，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这等差数列的第三项加上 3232，那么所得的三项又成等比数列，求原来的等比数列.

1983 · 全国 · 文 · 第 12 题 · 解答题

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