数迹
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01函数与初等函数★☆☆☆☆
在直角坐标系内，函数 y=∣x∣y = |x| 的图象（ ）
A.
关于坐标轴，原点都不对称
B.
关于原点对称
C.
关于 xx 轴对称
D.
关于 yy 轴对称

1983 · 全国 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★☆☆☆☆
抛物线 x2+y=0x^{2} + y = 0 的焦点位于（ ）
A.
yy 轴的负半轴上
B.
yy 轴的正半轴上
C.
xx 轴的负半轴上
D.
xx 轴的正半轴上

1983 · 全国 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03立体几何初步★☆☆☆☆
两条异面直线，指的是（ ）
A.
在空间内不相交的两条直线
B.
分别位于两个不同平面内的两条直线
C.
某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
D.
不在同一平面内的两条直线

1983 · 全国 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
对任何 180∘<α<360∘180^{\circ} < \alpha < 360^{\circ}，cos⁡α2\cos \frac{\alpha}{2} 的值等于（ ）
A.
1+cos⁡α2\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}
B.
1−cos⁡α2\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}
C.
−1+cos⁡α2-\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}
D.
−1−cos⁡α2-\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}

1983 · 全国 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★☆☆☆☆
0.320.3^{2}，log⁡20.3\log_{2}0.3，20.32^{0.3} 这三个数之间的大小顺序是（ ）
A.
0.32<20.3<log⁡20.30.3^{2} < 2^{0.3} < \log_{2}0.3
B.
0.32<log⁡20.3<20.30.3^{2} < \log_{2}0.3 < 2^{0.3}
C.
log⁡20.3<0.32<20.3\log_{2}0.3 < 0.3^{2} < 2^{0.3}
D.
log⁡20.3<20.3<0.32\log_{2}0.3 < 2^{0.3} < 0.3^{2}

1983 · 全国 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★☆☆☆☆
在平面直角坐标系内，表中的方程表示什么图形？画出这些图形.

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07函数与初等函数★★☆☆☆
(1) 求函数 y=x+5log⁡2(36−x2)y = \sqrt{x + 5}\log_2\left(36 - x^2\right) 的定义域. (2) 一个小组共有 1010 名同学，其中 44 名是女同学，66 名是男同学. 要从小组内选出 33 名代表，其中至少有 11 名女同学，求一共有多少种选法.

1983 · 全国 · 文 · 第 7 题 · 解答题

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08复数★★★☆☆
已知复数 z=cos⁡α+isin⁡αz = \cos \alpha + \mathrm{i}\sin \alpha，求证：z3+1z3=2cos⁡3αz^3 + \frac{1}{z^3} = 2\cos 3\alpha.

1983 · 全国 · 文 · 第 8 题 · 解答题

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09不等式★★★☆☆
在圆心为 OO，半径为常数 RR 的半圆板内画内接矩形（如图），当矩形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积.

1983 · 全国 · 文 · 第 9 题 · 解答题

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10三角函数★★★☆☆
如图，地平面上有一旗杆 OPOP，为了测得它的高度 hh，在地面上选一基线 ABAB，AB=20 米AB=20\text{ 米}，在 AA 点处测得 PP 点的仰角 ∠OAP=30∘\angle OAP=30^{\circ}，在 BB 点处测得 PP 点的仰角 ∠OBP=45∘\angle OBP=45^{\circ}，又测得 ∠AOB=60∘\angle AOB=60^{\circ}，求旗杆的高度 hh（结果可以保留根号）.

1983 · 全国 · 文 · 第 10 题 · 解答题

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11立体几何初步★★★★☆
如图，已知一块直角三角形板 ABCABC 的 BCBC 边在平面 α\alpha 内，∠ABC=60∘\angle ABC=60^{\circ}，∠ACB=30∘\angle ACB=30^{\circ}，BC=24 cmBC=24\mathrm{~cm}，AA 点在平面 α\alpha 内的射影为 NN，AN=9 cmAN=9\mathrm{~cm}. 求以 AA 为顶点的三棱锥 A-NBCA\text{-}NBC 的体积（结果可以保留根号）.

1983 · 全国 · 文 · 第 11 题 · 解答题

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12数列★★★☆☆
一个等比数列有三项，如果把第二项加上 44，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这等差数列的第三项加上 3232，那么所得的三项又成等比数列，求原来的等比数列.

1983 · 全国 · 文 · 第 12 题 · 解答题

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13解析几何★★★★☆
如图，已知两条直线 L1:2x−3y+2=0L_{1}: 2x - 3y + 2 = 0，L2:3x−2y+3=0L_{2}: 3x - 2y + 3 = 0. 有一动圆（圆心和半径都在变动）与 L1L_{1}，L2L_{2} 都相交，并且 L1L_{1}，L2L_{2} 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值 2626，2424. 求圆心 MM 的轨迹方程，并说出轨迹的名称.

1983 · 全国 · 文 · 第 13 题 · 解答题

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