有两排座位，前排 $11$ 个座位，后排 $12$ 个座位，现安排 $2$ 人就座，规定前排中间的 $3$ 个座位不能坐，并且这 $2$ 人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）

如图，四棱柱 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的底面 $ABCD$ 为正方形，侧棱与底面边长均为 $2a$，且 $\angle A_{1}AD = \angle A_{1}AB = 60^{\circ}$，则侧棱 $AA_{1}$ 和截面 $B_{1}D_{1}DB$ 的距离是______.

口袋内装有 $10$ 个相同的球，其中 $5$ 个球标有数字 $0$，$5$ 个球标有数字 $1$，若从袋中摸出 $5$ 个球，那么摸出的 $5$ 个球所标数字之和小于 $2$ 或大于 $3$ 的概率是______.（以数值作答）

已知四棱锥 $P - ABCD$，底面 $ABCD$ 是菱形，$\angle DAB = 60^{\circ}$，$PD \perp$ 平面 $ABCD$，$PD = AD$，点 $E$ 为 $AB$ 中点，点 $F$ 为 $PD$ 中点.

(1) 证明：平面 $PED \perp$ 平面 $PAB$； (2) 求二面角 $P - AB - F$ 的平面角的余弦值.

甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润 $x$（元）与年产量 $t$（吨）满足函数关系 $x = 2000\sqrt{t}$. 若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 $s$ 元（以下称 $s$ 为赔付价格）.

(1) 将乙方的年利润 $w$（元）表示为年产量 $t$（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； (2) 甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 $y = 0.002t^2$（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格 $s$ 是多少.