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01三角函数★☆☆☆☆
若 cos⁡θ>0\cos \theta > 0，sin⁡2θ<0\sin 2\theta < 0，则角 θ\theta 的终边所在象限是（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2004 · 辽宁 · 第 1 题 · 选择题

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02指数函数与对数函数★★☆☆☆
对于 0<a<10 < a < 1，给出下列四个不等式：
① log⁡a(1+a)<log⁡a(1+1a)\log_a(1 + a) < \log_a\left(1 + \frac{1}{a}\right)； ② log⁡a(1+a)>log⁡a(1+1a)\log_a(1 + a) > \log_a\left(1 + \frac{1}{a}\right)； ③ a1+a<a1+1aa^{1 + a} < a^{1 + \frac{1}{a}}； ④ a1+a>a1+1aa^{1 + a} > a^{1 + \frac{1}{a}}.
其中成立的是（ ）
A.
①与③
B.
①与④
C.
②与③
D.
②与④

2004 · 辽宁 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知 α\alpha，β\beta 是不同的两个平面，直线 a⊂αa \subset \alpha，直线 b⊂βb \subset \beta，命题 pp：aa 与 bb 无公共点；命题 qq：α∥β\alpha \parallel \beta，则 pp 是 qq 的（ ）
A.
充分而不必要的条件
B.
必要而不充分的条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要的条件

2004 · 辽宁 · 第 3 题 · 选择题

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04复数★★☆☆☆
设复数 zz 满足 1−z1+z=i\frac{1 - z}{1 + z} = \mathrm{i}，则 ∣1+z∣=|1 + z| =（ ）
A.
00
B.
11
C.
2\sqrt{2}
D.
22

2004 · 辽宁 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★★☆☆☆
甲，乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是 p1p_{1}，乙解决这个问题的概率是 p2p_{2}，那么恰好有 11 人解决这个问题的概率是（ ）
A.
p1p2p_{1}p_{2}
B.
p1(1−p2)+p2(1−p1)p_1(1 - p_2) + p_2(1 - p_1)
C.
1−p1p21 - p_{1}p_{2}
D.
1−(1−p1)(1−p2)1 - (1 - p_1)(1 - p_2)

2004 · 辽宁 · 第 5 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
已知点 A(−2,0)A(-2,0)，B(3,0)B(3,0)，动点 P(x,y)P(x, y) 满足 PA→⋅PB→=x2\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = x^2，则点 PP 的轨迹是（ ）
A.
圆
B.
椭圆
C.
双曲线
D.
抛物线

2004 · 辽宁 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡(πx−π2)−1f(x) = \sin \left( \pi x - \frac{\pi}{2} \right) - 1，则下列命题正确的是（ ）
A.
f(x)f(x) 是周期为11的奇函数
B.
f(x)f(x) 是周期为22的偶函数
C.
f(x)f(x) 是周期为11的非奇非偶函数
D.
f(x)f(x) 是周期为22的非奇非偶函数

2004 · 辽宁 · 第 7 题 · 选择题

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08概率与统计★★☆☆☆
已知随机变量 ξ\xi 的概率分布如下：
则 P(ξ=10)=P(\xi = 10) =（ ）
A.
239\frac{2}{3^9}
B.
2310\frac{2}{3^{10}}
C.
139\frac{1}{3^9}
D.
1310\frac{1}{3^{10}}

2004 · 辽宁 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★☆☆☆
已知点 F1(−2,0)F_{1}(-\sqrt{2},0)，F2(2,0)F_{2}(\sqrt{2},0). 动点 PP 满足 ∣PF2∣−∣PF1∣=2|PF_{2}| - |PF_{1}| = 2. 当点 PP 的纵坐标是 12\frac{1}{2} 时，点 PP 到坐标原点的距离是（ ）
A.
62\frac{\sqrt{6}}{2}
B.
32\frac{3}{2}
C.
3\sqrt{3}
D.
22

2004 · 辽宁 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★☆☆☆
设 AA，BB，CC，DD 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3AB = BC = CD = DA = 3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）
A.
86π8\sqrt{6}\pi
B.
646π64\sqrt{6}\pi
C.
242π24\sqrt{2}\pi
D.
722π72\sqrt{2}\pi

2004 · 辽宁 · 第 10 题 · 选择题

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11三角函数★★☆☆☆
若函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x) = \sin (\omega x + \varphi) 的图象（部分）如图所示，则 ω\omega 和 φ\varphi 的取值（ ）
A.
ω=1\omega = 1，φ=π3\varphi = \frac{\pi}{3}
B.
ω=1\omega = 1，φ=−π3\varphi = -\frac{\pi}{3}
C.
ω=12\omega = \frac{1}{2}，φ=π6\varphi = \frac{\pi}{6}
D.
ω=12\omega = \frac{1}{2}，φ=−π6\varphi = -\frac{\pi}{6}

2004 · 辽宁 · 第 11 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
有两排座位，前排 1111 个座位，后排 1212 个座位，现安排 22 人就座，规定前排中间的 33 个座位不能坐，并且这 22 人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）
A.
234234
B.
346346
C.
350350
D.
363363

2004 · 辽宁 · 第 12 题 · 选择题

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13解析几何★★☆☆☆
若经过点 P(−1,0)P(-1,0) 的直线与圆 x2+y2+4x−2y+3=0x^{2} + y^{2} + 4x - 2y + 3 = 0 相切，则此直线在 yy 轴上的截距是______.

2004 · 辽宁 · 第 13 题 · 填空题

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14导数及其应用★★☆☆☆
lim⁡x→π(x−π)cos⁡xx−π=\displaystyle\lim_{x\to \pi}\frac{(x - \pi)\cos x}{\sqrt{x} - \sqrt{\pi}} =______.

2004 · 辽宁 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的底面 ABCDABCD 为正方形，侧棱与底面边长均为 2a2a，且 ∠A1AD=∠A1AB=60∘\angle A_{1}AD = \angle A_{1}AB = 60^{\circ}，则侧棱 AA1AA_{1} 和截面 B1D1DBB_{1}D_{1}DB 的距离是______.

2004 · 辽宁 · 第 15 题 · 填空题

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16概率与统计★★★☆☆
口袋内装有 1010 个相同的球，其中 55 个球标有数字 00，55 个球标有数字 11，若从袋中摸出 55 个球，那么摸出的 55 个球所标数字之和小于 22 或大于 33 的概率是______.（以数值作答）

2004 · 辽宁 · 第 16 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★☆☆
已知四棱锥 P−ABCDP - ABCD，底面 ABCDABCD 是菱形，∠DAB=60∘\angle DAB = 60^{\circ}，PD⊥PD \perp 平面 ABCDABCD，PD=ADPD = AD，点 EE 为 ABAB 中点，点 FF 为 PDPD 中点.
(1) 证明：平面 PED⊥PED \perp 平面 PABPAB； (2) 求二面角 P−AB−FP - AB - F 的平面角的余弦值.

2004 · 辽宁 · 第 17 题 · 解答题

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18不等式★★★★☆
设全集 U=RU = \mathbf{R}.
(1) 解关于 xx 的不等式 ∣x−1∣+a−1>0|x - 1| + a - 1 > 0（a∈Ra \in \mathbf{R}）； (2) 记 AA 为（1）中不等式的解集，集合 B={x∣sin⁡(πx−π3)+3cos⁡(πx−π3)=0}B = \left\{x \mid \sin \left( \pi x - \frac{\pi}{3} \right) + \sqrt{3} \cos \left( \pi x - \frac{\pi}{3} \right) = 0 \right\}，若 (∁UA)∩B(\complement_U A) \cap B 恰有 33 个元素，求 aa 的取值范围.

2004 · 辽宁 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆方程为 x2+y24=1x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1，过点 M(0,1)M(0,1) 的直线 ll 交椭圆于点 AA，BB，OO 是坐标原点，点 PP 满足 OP→=12(OA→+OB→)\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right)，点 NN 的坐标为 (12,12)\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)，当 ll 绕点 MM 旋转时，求：
(1) 动点 PP 的轨迹方程； (2) ∣NP→∣|\overrightarrow{NP}| 的最小值与最大值.

2004 · 辽宁 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润 xx（元）与年产量 tt（吨）满足函数关系 x=2000tx = 2000\sqrt{t}. 若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 ss 元（以下称 ss 为赔付价格）.
(1) 将乙方的年利润 ww（元）表示为年产量 tt（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； (2) 甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y=0.002t2y = 0.002t^2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格 ss 是多少.

2004 · 辽宁 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−32x2f(x)=ax-\frac{3}{2}x^{2} 的最大值不大于 16\frac{1}{6}，又当 x∈[14,12]x \in \left[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right] 时，f(x)≥18f(x) \ge \frac{1}{8}.
(1) 求 aa 的值； (2) 设 0<a1<120 < a_1 < \frac{1}{2}，an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n)，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*. 证明 an<1n+1a_n < \frac{1}{n+1}.

2004 · 辽宁 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡(ex+a)f(x) = \ln(\mathrm{e}^x + a)（a>0a > 0）.
(1) 求函数 y=f(x)y = f(x) 的反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x) 及 f(x)f(x) 的导数 f′(x)f'(x)； (2) 假设对任意 x∈[ln⁡(3a),ln⁡(4a)]x \in [\ln(3a), \ln(4a)]，不等式 ∣m−f−1(x)∣+ln⁡(f′(x))<0|m - f^{-1}(x)| + \ln(f'(x)) < 0 成立，求实数 mm 的取值范围.

2004 · 辽宁 · 第 22 题 · 解答题

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