在三棱锥 $P-ABC$ 中，平面 $PAC\perp$ 平面 $ABC$，$PA=AC=CP=2$，$AB=BC=\sqrt2$.

(1) 若 $O$ 是棱 $AC$ 的中点，证明：$BO\perp$ 平面 $PAC$，并求三棱锥 $B-OPA$ 的体积； (2) 求二面角 $B-PC-A$ 的大小.

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，且 $c=5$.

(1) 若 $\dfrac{a}{4b}=\dfrac{\sin B}{\sin A}$，$C=\dfrac\pi2$，求 $a$； (2) 若 $ab=20$，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值.

甲，乙是两个体育社团的小组，给出两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间，个位数作为“叶”分列在两边.

(1) 分别求甲，乙两组组员身高的第 $60$ 百分位数； (2) 从甲，乙两组各选取一个组员，求两人身高均在 $170\text{ 厘米}$ 以上的概率； (3) 为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组. 是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲，乙两组的平均身高都增大？