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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣x>0}A=\{x\mid x>0\}，B={−1,0,1,2}B=\{-1,0,1,2\}，则 A∩B=‾A\cap B=\underline{\hspace{2em}}.

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02不等式★☆☆☆☆
不等式 xx−1<0\dfrac{x}{x-1}<0 的解集为______.

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03复数★☆☆☆☆
已知复数 z=2+iiz=\dfrac{2+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}，其中 i\mathrm{i} 为虚数单位，则 ∣z∣=‾|z|=\underline{\hspace{2em}}.

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04平面向量★☆☆☆☆
已知 a=(2,1)\boldsymbol{a}=(2,1)，b=(1,x)\boldsymbol{b}=(1,x)，若 a∥b\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}，则 x=‾x=\underline{\hspace{2em}}.

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05三角函数★☆☆☆☆
已知 tan⁡α=1\tan\alpha=1，则 cos⁡(α+π4)=‾\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\underline{\hspace{2em}}.

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
已知 (x+mx)6\left(x+\dfrac{m}{x}\right)^6 的展开式中常数项为 2020，则实数 mm 的值为______.

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07数列★★☆☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是首项为 11，公差为 11 的等差数列，{bn}\{b_n\} 是首项为 11，公比为 qq（q>0q>0） 的等比数列. 若数列 {anbn}\{a_nb_n\} 的前三项和为 22，则 q=‾q=\underline{\hspace{2em}}.

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08不等式★★☆☆☆
关于 xx 的方程 ∣x−1∣+∣π−x∣=π−1|x-1|+|\pi-x|=\pi-1 的解集为______.

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09立体几何初步★★★★☆
已知 PP 是一个圆锥的顶点，PAPA 是母线，PA=2PA=2，该圆锥的底面半径是 11. BB，CC 分别在圆锥的底面上，则异面直线 PAPA 与 BCBC 所成角的最小值为______.

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10解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y26−a2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{6-a^2}=1（a>0a>0） 的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 通过 F2F_2 且倾斜角为 π3\dfrac\pi3 的直线与双曲线交于第一象限的点 AA，延长 AF2AF_2 至 BB 使得 AB=AF1AB=AF_1. 若 △BF1F2\triangle BF_1F_2 的面积为 363\sqrt6，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

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11导数及其应用★★★★☆
如图，正方形 ABCDABCD 是一块边长为 44 的工程用料，阴影部分是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线 MNMN 为以 ADAD 为对称轴的抛物线的一部分，且 DM=DN=3DM=DN=3. 工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料 BQPRBQPR，当其面积有最大值时，AQAQ 的长为______.

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12平面向量★★★★☆
在平面中，e1\boldsymbol{e}_1 和 e2\boldsymbol{e}_2 是互相垂直的单位向量，向量 a\boldsymbol{a} 满足 ∣a−4e1∣=2|\boldsymbol{a}-4\boldsymbol{e}_1|=2，向量 b\boldsymbol{b} 满足 ∣b−6e2∣=1|\boldsymbol{b}-6\boldsymbol{e}_2|=1，求 b\boldsymbol{b} 在 a\boldsymbol{a} 方向上的数量投影的最大值______.

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13立体几何初步★☆☆☆☆
如图，ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（ ）.
A.
ABAB 和 C1D1C_1D_1
B.
AA1AA_1 和 CC1CC_1
C.
BD1BD_1 和 B1DB_1D
D.
A1D1A_1D_1 和 ABAB

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14函数与初等函数★☆☆☆☆
幂函数 y=xαy=x^\alpha 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上是严格减函数，且经过 (−1,−1)(-1,-1)，则 α\alpha 的值可能是（ ）.
A.
−23-\dfrac23
B.
−13-\dfrac13
C.
13\dfrac13
D.
33

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15概率与统计★★☆☆☆
有一四边形 ABCDABCD，对其四边 ABAB，BCBC，CDCD，DADA 按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去. 最后，以 AA 为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达 CC 点的概率为（ ）.
A.
12\dfrac12
B.
716\dfrac7{16}
C.
14\dfrac14
D.
316\dfrac3{16}

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16三角函数★★★★☆
已知 a∈Ra\in\mathbf{R}，不等式 [tan⁡(π6x)−a][tan⁡(π6x)−a−1]<0\left[\tan\left(\dfrac\pi6x\right)-a\right]\left[\tan\left(\dfrac\pi6x\right)-a-1\right]<0 在 (0,2025)(0,2025) 中的整数解有 mm 个. 关于 mm 的个数，以下不可能的是（ ）.
A.
00
B.
338338
C.
674674
D.
10121012

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17立体几何初步★★★☆☆
在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，平面 PAC⊥PAC\perp 平面 ABCABC，PA=AC=CP=2PA=AC=CP=2，AB=BC=2AB=BC=\sqrt2.
(1) 若 OO 是棱 ACAC 的中点，证明：BO⊥BO\perp 平面 PACPAC，并求三棱锥 B−OPAB-OPA 的体积； (2) 求二面角 B−PC−AB-PC-A 的大小.

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，且 c=5c=5.
(1) 若 a4b=sin⁡Bsin⁡A\dfrac{a}{4b}=\dfrac{\sin B}{\sin A}，C=π2C=\dfrac\pi2，求 aa； (2) 若 ab=20ab=20，求 △ABC\triangle ABC 面积的最大值.

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19概率与统计★★★☆☆
甲，乙是两个体育社团的小组，给出两组组员身高的茎叶图（单位：厘米），以身高的百位数和十位数作为“茎”排列在中间，个位数作为“叶”分列在两边.
甲茎乙
77，77，55，55，44161600，33，55，55，66，77，88，88
88，55，44，33，22，22171722
331818
(1) 分别求甲，乙两组组员身高的第 6060 百分位数； (2) 从甲，乙两组各选取一个组员，求两人身高均在 170 厘米170\text{ 厘米} 以上的概率； (3) 为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组. 是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲，乙两组的平均身高都增大？

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20解析几何★★★★★
在平面直角坐标系中，已知曲线 Γ:x24+y2=1\Gamma:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1（y≥0y\ge0），点 PP，QQ 分别为 Γ\Gamma 上不同的两点，T(t,0)T(t,0).
(1) 求 Γ\Gamma 所在椭圆的离心率； (2) 若 T(1,0)T(1,0)，QQ 在 yy 轴上，且 TT 到直线 PQPQ 的距离为 55\dfrac{\sqrt5}{5}，求 PP 的坐标； (3) 是否存在 tt，使得 △TPQ\triangle TPQ 是以 TT 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求 tt 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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21函数与初等函数★★★★★
已知函数 y=f(x)y=f(x) 的定义域是 DD. 对于 t∈Dt\in D，定义集合 Sf(t)={x∣f(x)≥f(t)}S_f(t)=\{x\mid f(x)\ge f(t)\}.
(1) f(x)=log⁡2xf(x)=\log_2x，求 Sf(16)S_f(16)； (2) 对于集合 AA，若对任意 x∈Ax\in A 都有 −x∈A-x\in A，则称 AA 是对称集. 若 DD 是对称集，证明：“函数 y=f(x)y=f(x) 是偶函数”的充要条件是“对任意 t∈Dt\in D，Sf(t)S_f(t) 是对称集”； (3) 若 x∈Rx\in\mathbf{R}，f(x)=ex−12mx2f(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac12mx^2. 求 mm 的取值范围，使得对于任意 t1<t2∈Dt_1<t_2\in D，都有 Sf(t2)⊆Sf(t1)S_f(t_2)\subseteq S_f(t_1).

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