数迹
题目列表试卷列表
共找到 8 题
排序：
组题
本页 8 题去组卷
06立体几何初步★★★☆☆
如果三棱锥 S−ABCS-ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点 SS 在底面的射影 OO 在 △ABC\triangle ABC 内，那么 OO 是 △ABC\triangle ABC 的（\quad）
\begin{solution} 设 HH 是点 OO 到底面边 BCBC 的垂足. 过 SOSO 作垂直于 BCBC 的截面，则该截面与底面、侧面 SBCSBC 的交线分别为 OHOH、SHSH，所以对应的二面角满足 tan⁡θ=SOOH\tan\theta=\frac{SO}{OH}. 三个侧面与底面所成的二面角相等，且 SO>0SO>0，故点 OO 到三条边的距离相等. 又因 OO 在三角形内部，OO 是 △ABC\triangle ABC 的内心，选 D. \end{solution}
A.
垂心
B.
重心
C.
外心
D.
内心

1991 · 全国 · 理 · 第 6 题 · 选择题

查看答案和解析
08解析几何★★★☆☆
如果圆锥曲线的极坐标方程为 ρ=165−3cos⁡θ\rho=\frac{16}{5-3\cos\theta}，那么它的焦点的极坐标为（\quad）
\begin{solution} 令 ρ=x2+y2\rho=\sqrt{x^2+y^2}，则 ρcos⁡θ=x\rho\cos\theta=x. 原极坐标方程化为 5ρ=16+3x5\rho=16+3x. 由于 5−3cos⁡θ>05-3\cos\theta>0，两边平方不引入额外点，得 25(x2+y2)=(16+3x)225(x^2+y^2)=(16+3x)^2，即 16(x−3)2+25y2=40016(x-3)^2+25y^2=400，或 (x−3)225+y216=1\frac{(x-3)^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1. 该椭圆的中心为 (3,0)(3,0)，半长轴为 55，半短轴为 44，焦距的一半为 52−42=3\sqrt{5^2-4^2}=3. 所以两个焦点为 (0,0)(0,0)、(6,0)(6,0)，选 D. \end{solution}
A.
(0,0)\left(0,0\right)，(6,π)\left(6,\pi\right)
B.
(−3,0)\left(-3,0\right)，(3,0)\left(3,0\right)
C.
(0,0)\left(0,0\right)，(3,0)\left(3,0\right)
D.
(0,0)\left(0,0\right)，(6,0)\left(6,0\right)

1991 · 全国 · 理 · 第 8 题 · 选择题

查看答案和解析
14解析几何★★★☆☆
圆 x2+2x+y2+4y−3=0x^{2} + 2x + y^{2} + 4y - 3 = 0 上到直线 x+y+1=0x + y + 1 = 0 的距离为 2\sqrt{2} 的点共有（\quad）
\begin{solution} 圆的方程化为 (x+1)2+(y+2)2=8\left(x+1\right)^2+\left(y+2\right)^2=8，圆心为 (−1,−2)(-1,-2)，半径为 222\sqrt2. 设所求点到直线的距离为 2\sqrt2，则 ∣x+y+1∣=2\lvert x+y+1\rvert=2，所以这些点在两条直线 x+y=1x+y=1 或 x+y=−3x+y=-3 上. 直线 x+y=1x+y=1 到圆心的距离为 222\sqrt{2}，与圆相切，有 11 个交点；直线 x+y=−3x+y=-3 经过圆心，与圆有 22 个交点. 共有 33 个点，选 C. \end{solution}
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
44 个

1991 · 全国 · 理 · 第 14 题 · 选择题

查看答案和解析
18立体几何初步★★★☆☆
已知正三棱台上底面边长为 22，下底面边长为 44，且侧棱与底面所成的角是 45∘45^\circ，那么这个正三棱台的体积等于______.
\begin{solution} 设该正三棱台的高为 hh. 正三棱台上下底面的中心在同一条高线上，对应顶点连线在底面上的投影长等于两底面外接圆半径之差. 正三角形边长分别为 22、44 时，外接圆半径分别为 23\frac{2}{\sqrt3}、43\frac{4}{\sqrt3}，故投影长为 23\frac{2}{\sqrt3}. 在由侧棱、其投影和高组成的直角三角形中，tan⁡45∘=h23=1\tan45^\circ=\frac{h}{\frac{2}{\sqrt3}}=1，所以 h=23h=\frac{2}{\sqrt3}. 上、下底面积分别为 3\sqrt3、434\sqrt3，故正棱台体积为
V=h3(S1+S2+S1S2)=233(3+43+23)=143V=\frac{h}{3}\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}\right)=\frac{\frac{2}{\sqrt3}}{3}\left(\sqrt3+4\sqrt3+2\sqrt3\right)=\frac{14}{3}
\end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 18 题 · 填空题

查看答案和解析
19计数原理与组合数学★★★☆☆
(ax+1)7\left(ax+1\right)^7 的展开式中，x3x^3 的系数是 x2x^2 的系数与 x4x^4 的系数的等差中项，若实数 a>1a>1，那么 a=a=______.
\begin{solution} 在 (ax+1)7(ax+1)^7 的展开式中，xkx^k 的系数为 C7kak\mathrm C_7^k a^k. 因而 x2x^2，x3x^3，x4x^4 的系数分别为 21a221a^2、35a335a^3、35a435a^4. 由等差中项关系，2×35a3=21a2+35a42\times35a^3=21a^2+35a^4. 因为 a>1a>1，可除以 7a27a^2，得到 5a2−10a+3=05a^2-10a+3=0，所以 a=1±105a=1\pm\frac{\sqrt{10}}{5}. 结合 a>1a>1，得 a=1+105a=1+\frac{\sqrt{10}}{5}. \end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 19 题 · 填空题

查看答案和解析
20立体几何初步★★★☆☆
在球面上有四个点 PP，AA，BB，CC，如果 PAPA，PBPB，PCPC 两两互相垂直，且 PA=PB=PC=aPA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是______.
\begin{solution} 以 PP 为原点，分别以 PAPA、PBPB、PCPC 所在方向为三个坐标轴正方向，则可设 P=(0,0,0)P=(0,0,0)、A=(a,0,0)A=(a,0,0)、B=(0,a,0)B=(0,a,0)、C=(0,0,a)C=(0,0,a). 设球心为 O=(u,v,w)O=(u,v,w). 由 OP=OAOP=OA 得 u2+v2+w2=(u−a)2+v2+w2u^2+v^2+w^2=(u-a)^2+v^2+w^2，所以 u=a2u=\frac a2. 由 OP=OBOP=OB 得 u2+v2+w2=u2+(v−a)2+w2u^2+v^2+w^2=u^2+(v-a)^2+w^2，所以 v=a2v=\frac a2. 由 OP=OCOP=OC 得 u2+v2+w2=u2+v2+(w−a)2u^2+v^2+w^2=u^2+v^2+(w-a)^2，所以 w=a2w=\frac a2. 因而球半径满足 R2=(a2)2+(a2)2+(a2)2=3a24R^2=\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2\right)^2+\left(\frac a2\right)^2=\frac{3a^2}{4}，球面面积为 4πR2=3πa24\pi R^2=3\pi a^2. \end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 20 题 · 填空题

查看答案和解析
21三角函数★★★☆☆
求函数 y=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+3cos⁡2xy=\sin^2 x+2\sin x\cos x+3\cos^2 x 的最小值，并写出使函数 yy 取最小值的 xx 的集合.
\begin{solution} 由 sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}、cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2} 及 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x\cos x=\sin2x，得
y=2+cos⁡2x+sin⁡2x=2+2sin⁡(2x+π4)≥2−2y=2+\cos2x+\sin2x=2+\sqrt2\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\geq 2-\sqrt2
当且仅当 sin⁡(2x+π4)=−1\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-1 时取等号，即 2x+π4=−π2+2kπ2x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2k\pi，所以 x=kπ−3π8x=k\pi-\frac{3\pi}{8}，其中 k∈Zk\in\mathbf{Z}. 因此最小值为 2−22-\sqrt2，使函数取最小值的 xx 的集合为 {x∣x=kπ−3π8, k∈Z}\left\{x\mid x=k\pi-\frac{3\pi}{8},\ k\in\mathbf{Z}\right\}. \end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
23立体几何初步★★★☆☆
已知 ABCDABCD 是边长为 44 的正方形，EE，FF 分别是 ABAB，ADAD 的中点，GCGC 垂直于 ABCDABCD 所在的平面，且 GC=2GC=2，求点 BB 到平面 EFGEFG 的距离.
\begin{solution} 建立直角坐标系，使正方形所在平面为 z=0z=0，取 A=(0,0,0)A=(0,0,0)、B=(4,0,0)B=(4,0,0)、C=(4,4,0)C=(4,4,0)、D=(0,4,0)D=(0,4,0). 由题意可取 E=(2,0,0)E=(2,0,0)、F=(0,2,0)F=(0,2,0)、G=(4,4,2)G=(4,4,2). 于是 EF→=(−2,2,0)\overrightarrow{EF}=(-2,2,0)，EG→=(2,4,2)\overrightarrow{EG}=(2,4,2)，平面 EFGEFG 的一个法向量为 (1,1,−3)(1,1,-3)，其方程为 x+y−3z−2=0x+y-3z-2=0. 因此点 B=(4,0,0)B=(4,0,0) 到该平面的距离为
d=∣4+0−3×0−2∣12+12+(−3)2=211=21111d=\frac{\lvert4+0-3\times0-2\rvert}{\sqrt{1^2+1^2+(-3)^2}}=\frac{2}{\sqrt{11}}=\frac{2\sqrt{11}}{11}
\end{solution}

1991 · 全国 · 理 · 第 23 题 · 解答题

查看答案和解析