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07数列★★★☆☆
如图，在半径为 rr 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设 SnS_{n} 为前 nn 个圆的面积之和，则 lim⁡n→∞Sn=\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}=（ ）
A.
2πr22\pi r^{2}
B.
83πr2\frac{8}{3}\pi r^2
C.
4πr24\pi r^{2}
D.
6πr26\pi r^{2}

2010 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
若直线 y=x+by = x + b 与曲线 y=3−4x−x2y = 3 - \sqrt{4x - x^2} 有公共点，则 bb 的取值范围是（ ）
A.
[−1,1+22][-1, 1 + 2\sqrt{2}]
B.
[1−22,1+22][1 - 2\sqrt{2}, 1 + 2\sqrt{2}]
C.
[1−22,3][1 - 2\sqrt{2},3]
D.
[1−2,3][1 - \sqrt{2},3]

2010 · 湖北 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10集合与逻辑基础★★★☆☆
记实数 x1x_{1}，x2x_{2}，⋯\cdots，xnx_{n} 中的最大数为 max⁡{x1,x2,⋯ ,xn}\max \{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\}，最小数为 min⁡{x1,x2,⋯ ,xn}\min \{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\}. 已知 △ABC\triangle ABC 的三边边长为 aa，bb，cc（a⩽b⩽ca \leqslant b \leqslant c），定义它的倾斜度为 t=max⁡{ab,bc,ca}⋅min⁡{ab,bc,ca}t = \max \left\{\frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{c}{a}\right\} \cdot \min \left\{\frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{c}{a}\right\}，则 t=1t = 1 是 “△ABC\triangle ABC 为等边三角形”的（ ）
A.
必要而不充分的条件
B.
充分而不必要的条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要的条件

2010 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★☆☆
设 a>0a > 0，b>0b > 0. 称 2aba+b\frac{2ab}{a + b} 为 aa，bb 的调和平均数. 如图，CC 为线段 ABAB 上的点，且 AC=aAC = a，CB=bCB = b，OO 为 ABAB 中点，以 ABAB 为直径做半圆. 过点 CC 作 ABAB 的垂线交半圆于 DD. 连接 ODOD，ADAD，BDBD. 过点 CC 作 ODOD 的垂线，垂足为 EE. 则图中线段 ODOD 的长度是 aa，bb 的算术平均数，线段______ 的长度是 aa，bb 的几何平均数，线段______ 的长度是 aa，bb 的调和平均数.

2010 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡(π3+x)cos⁡(π3−x)f(x) = \cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right) \cos \left( \frac{\pi}{3} - x \right)，g(x)=12sin⁡2x−14g(x) = \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1}{4}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 求函数 h(x)=f(x)−g(x)h(x) = f(x) - g(x) 的最大值，并求使 h(x)h(x) 取得最大值的 xx 的集合.

2010 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层. 某幢建筑物要建造可使用 20 年20\text{ 年} 的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元6\text{ 万元}. 该建筑物每年的能源消耗费用 CC（单位：万元）与隔热层厚度 xx（单位：cm）满足关系：C(x)=k3x+5C(x) = \frac{k}{3x + 5}（0⩽x⩽100 \leqslant x \leqslant 10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元8\text{ 万元}. 设 f(x)f(x) 为隔热层建造费用与 20 年20\text{ 年} 的能源消耗费用之和.
(1) 求 kk 的值及 f(x)f(x) 的表达式. (2) 隔热层修建多厚时，总费用 f(x)f(x) 达到最小，并求最小值.

2010 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在四面体 ABOCABOC 中，OC⊥OAOC \perp OA，OC⊥OBOC \perp OB，∠AOB=120∘\angle AOB = 120^{\circ}，且 OA=OB=OC=1OA = OB = OC = 1.
(1) 设 PP 为 ACAC 的中点，证明：在 ABAB 上存在一点 QQ，使 PQ⊥OAPQ \perp OA，并计算 ABAQ\frac{AB}{AQ} 的值； (2) 求二面角 O−AC−BO - AC - B 的平面角的余弦值.

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