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01复数★☆☆☆☆
若 i\mathrm{i} 为虚数单位，图中复平面内点 ZZ 表示复数 zz，则表示复数 z1+i\frac{z}{1+\mathrm{i}} 的点是（ ）
A.
EE
B.
FF
C.
GG
D.
HH

2010 · 湖北 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★★★☆
设集合 A={(x,y)∣x24+y216=1}A = \left\{(x, y) \mid \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1\right\}，B={(x,y)∣y=3x}B = \{(x, y) \mid y = 3^x\}，则 A∩BA \cap B 的子集的个数是（ ）
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1

2010 · 湖北 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，a=15a = 15，b=10b = 10，A=60∘A = 60^{\circ}，则 cos⁡B=\cos B =（ ）
A.
−223-\frac{2\sqrt{2}}{3}
B.
223\frac{2\sqrt{2}}{3}
C.
−63-\frac{\sqrt{6}}{3}
D.
63\frac{\sqrt{6}}{3}

2010 · 湖北 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04概率与统计★☆☆☆☆
投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 AA，“骰子向上的点数是 3”为事件 BB，则事件 AA，BB 中至少有一件发生的概率是（ ）
A.
512\frac{5}{12}
B.
12\frac{1}{2}
C.
712\frac{7}{12}
D.
34\frac{3}{4}

2010 · 湖北 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05平面向量★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 和点 MM 满足 MA→+MB→+MC→=0\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 0. 若存在实数 mm 使得 AB→+AC→=mAM→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = m\overrightarrow{AM} 成立，则 m=m =（ ）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5

2010 · 湖北 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06概率与统计★★☆☆☆
将参加夏令营的 600 名学生编号为：001001、002002，…，600600. 采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003003. 这 600 名学生分住在三个营区，从 001001 到 300300 在第 II 营区，从 301301 到 495495 住在第 IIII 营区，从 496496 到 600600 住在第 IIIIII 营区. 三个营区被抽中的人数依次为（ ）
A.
26, 16, 8
B.
25, 17, 8
C.
25, 16, 9
D.
24, 17, 9

2010 · 湖北 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07数列★★★☆☆
如图，在半径为 rr 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设 SnS_{n} 为前 nn 个圆的面积之和，则 lim⁡n→∞Sn=\lim\limits_{n\to\infty}S_{n}=（ ）
A.
2πr22\pi r^{2}
B.
83πr2\frac{8}{3}\pi r^2
C.
4πr24\pi r^{2}
D.
6πr26\pi r^{2}

2010 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08计数原理与组合数学★★★★☆
现安排甲，乙，丙，丁，戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译，导游，礼仪，司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加. 甲，乙不会开车但能从事其他三项工作，丙，丁，戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）
A.
152
B.
126
C.
90
D.
54

2010 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
若直线 y=x+by = x + b 与曲线 y=3−4x−x2y = 3 - \sqrt{4x - x^2} 有公共点，则 bb 的取值范围是（ ）
A.
[−1,1+22][-1, 1 + 2\sqrt{2}]
B.
[1−22,1+22][1 - 2\sqrt{2}, 1 + 2\sqrt{2}]
C.
[1−22,3][1 - 2\sqrt{2},3]
D.
[1−2,3][1 - \sqrt{2},3]

2010 · 湖北 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10集合与逻辑基础★★★☆☆
记实数 x1x_{1}，x2x_{2}，⋯\cdots，xnx_{n} 中的最大数为 max⁡{x1,x2,⋯ ,xn}\max \{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\}，最小数为 min⁡{x1,x2,⋯ ,xn}\min \{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\}. 已知 △ABC\triangle ABC 的三边边长为 aa，bb，cc（a⩽b⩽ca \leqslant b \leqslant c），定义它的倾斜度为 t=max⁡{ab,bc,ca}⋅min⁡{ab,bc,ca}t = \max \left\{\frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{c}{a}\right\} \cdot \min \left\{\frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{c}{a}\right\}，则 t=1t = 1 是 “△ABC\triangle ABC 为等边三角形”的（ ）
A.
必要而不充分的条件
B.
充分而不必要的条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要的条件

2010 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x+34y)20(x + \sqrt[4]{3} y)^{20} 的展开式中，系数为有理数的项共有______ 项.

2010 · 湖北 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12不等式★★☆☆☆
已知 z=2x−yz = 2x - y，式中变量 xx，yy 满足约束条件
{y⩽x,x+y⩾1,x⩽2,\begin{cases} y \leqslant x,\\ x + y \geqslant 1,\\ x \leqslant 2, \end{cases}
则 zz 的最大值为______.

2010 · 湖北 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13立体几何初步★★☆☆☆
圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm8 \mathrm{~cm} 的水，若放入三个相同的球 （球半径与圆柱的底面半径相同） 后，水恰好淹没最上面的球 （如图所示）. 则球的半径是______ cm\mathrm{cm}.

2010 · 湖北 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14概率与统计★★☆☆☆
某射手射击所得环数 ξ\xi 的分布列如下：
ξ\xi7788991010
已知 ξ\xi 的期望 E(ξ)=8.9E(\xi) = 8.9，则 yy 的值为______.

2010 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
设 a>0a > 0，b>0b > 0. 称 2aba+b\frac{2ab}{a + b} 为 aa，bb 的调和平均数. 如图，CC 为线段 ABAB 上的点，且 AC=aAC = a，CB=bCB = b，OO 为 ABAB 中点，以 ABAB 为直径做半圆. 过点 CC 作 ABAB 的垂线交半圆于 DD. 连接 ODOD，ADAD，BDBD. 过点 CC 作 ODOD 的垂线，垂足为 EE. 则图中线段 ODOD 的长度是 aa，bb 的算术平均数，线段______ 的长度是 aa，bb 的几何平均数，线段______ 的长度是 aa，bb 的调和平均数.

2010 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡(π3+x)cos⁡(π3−x)f(x) = \cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right) \cos \left( \frac{\pi}{3} - x \right)，g(x)=12sin⁡2x−14g(x) = \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1}{4}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 求函数 h(x)=f(x)−g(x)h(x) = f(x) - g(x) 的最大值，并求使 h(x)h(x) 取得最大值的 xx 的集合.

2010 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层. 某幢建筑物要建造可使用 20 年20\text{ 年} 的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元6\text{ 万元}. 该建筑物每年的能源消耗费用 CC（单位：万元）与隔热层厚度 xx（单位：cm）满足关系：C(x)=k3x+5C(x) = \frac{k}{3x + 5}（0⩽x⩽100 \leqslant x \leqslant 10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元8\text{ 万元}. 设 f(x)f(x) 为隔热层建造费用与 20 年20\text{ 年} 的能源消耗费用之和.
(1) 求 kk 的值及 f(x)f(x) 的表达式. (2) 隔热层修建多厚时，总费用 f(x)f(x) 达到最小，并求最小值.

2010 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在四面体 ABOCABOC 中，OC⊥OAOC \perp OA，OC⊥OBOC \perp OB，∠AOB=120∘\angle AOB = 120^{\circ}，且 OA=OB=OC=1OA = OB = OC = 1.
(1) 设 PP 为 ACAC 的中点，证明：在 ABAB 上存在一点 QQ，使 PQ⊥OAPQ \perp OA，并计算 ABAQ\frac{AB}{AQ} 的值； (2) 求二面角 O−AC−BO - AC - B 的平面角的余弦值.

2010 · 湖北 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知一条曲线 CC 在 yy 轴的右边，CC 上每一点到点 F(1,0)F(1,0) 的距离减去它到 yy 轴距离的差都是 1.
(1) 求曲线 CC 的方程； (2) 是否存在正数 mm，对于过点 M(m,0)M(m,0) 且与曲线 CC 有两个交点 AA，BB 的任一直线，都有 FA→⋅FB→<0\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FB} < 0？若存在，求出 mm 的取值范围；若不存在，请说明理由.

2010 · 湖北 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足： a1=12a_1 = \frac{1}{2}，3(1+an+1)1−an=2(1+an)1−an+1\frac{3(1 + a_{n + 1})}{1 - a_n} = \frac{2(1 + a_n)}{1 - a_{n + 1}}，anan+1<0a_n a_{n + 1} < 0 （n⩾1n \geqslant 1）；数列 {bn}\{b_n\} 满足： bn=an+12−an2b_n = a_{n+1}^2 - a_n^2 （n⩾1n \geqslant 1）.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\}， {bn}\{b_{n}\} 的通项公式； (2) 证明：数列 {bn}\{b_n\} 中的任意三项不可能成等差数列.

2010 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ax+bx+cf(x) = ax + \frac{b}{x} + c（a>0a > 0）的图象在点(1,f(1))(1, f(1))处的切线方程为 y=x−1y = x - 1.
(1) 用 aa 表示出 bb，cc； (2) 若 f(x)⩾ln⁡xf(x) \geqslant \ln x 在 [1,+∞)[1, +\infty) 上恒成立，求 aa 的取值范围. (3) 证明： 1+12+13+⋯+1n>ln⁡(n+1)+n2(n+1)1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} > \ln (n + 1) + \frac{n}{2(n + 1)}（n⩾1n \geqslant 1）.

2010 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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