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05立体几何初步★★★☆☆
在如图所示的空间直角坐标系 O−xyzO-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是 (0,0,2)(0,0,2)，(2,2,0)(2,2,0)，(1,2,1)(1,2,1)，(2,2,2)(2,2,2). 给出编号为\circled1\circled{1}、\circled2\circled{2}、\circled3\circled{3}、\circled4\circled{4}的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）
A.
\circled1\circled{1}和\circled2\circled{2}
B.
\circled3\circled{3}和\circled1\circled{1}
C.
\circled4\circled{4}和\circled3\circled{3}
D.
\circled4\circled{4}和\circled2\circled{2}

2014 · 湖北 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 满足 ∫−11f(x)g(x) dx=0\int_{-1}^{1} f(x) g(x) \, \mathrm{d}x = 0，则称 f(x)f(x)，g(x)g(x) 为区间 [−1,1][-1, 1] 上的一组正交函数，给出三组函数：
① f(x)=sin⁡x2f(x)=\sin\frac{x}{2}，g(x)=cos⁡x2g(x)=\cos\frac{x}{2}； ② f(x)=x+1f(x)=x+1，g(x)=x−1g(x)=x-1； ③ f(x)=xf(x)=x，g(x)=x2g(x)=x^{2}.
其中为区间 [−1,1][-1, 1] 上的正交函数的组数是（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2014 · 湖北 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
由不等式组
{x⩽0,y⩾0,y−x−2⩽0\begin{cases} x \leqslant 0,\\ y \geqslant 0,\\ y - x - 2 \leqslant 0 \end{cases}
确定的平面区域记为 Ω1\Omega_1，不等式组
{x+y⩽1,x+y⩾−2\begin{cases} x + y \leqslant 1,\\ x + y \geqslant -2 \end{cases}
确定的平面区域记为 Ω2\Omega_2，在 Ω1\Omega_1 中随机取一点，则该点恰好在 Ω2\Omega_2 内的概率为（ ）
A.
18\frac{1}{8}
B.
14\frac{1}{4}
C.
34\frac{3}{4}
D.
78\frac{7}{8}

2014 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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12解析几何★★★☆☆
直线 l1:y=x+al_{1}: y = x + a 和 l2:y=x+bl_{2}: y = x + b 分别将单位圆 C:x2+y2=1C: x^{2} + y^{2} = 1 分成长度相等的四段弧，则 a2+b2=a^{2} + b^{2}=______.

2014 · 湖北 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
设 aa 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数. 将组成 aa 的 3 个3\text{ 个}数字按从小到大排成的三位数记为 I(a)I(a)，按从大到小排成的三位数记为 D(a)D(a)（例如 a=815a = 815，则 I(a)=158I(a) = 158，D(a)=851D(a) = 851）. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 aa，输出的结果是 b=b =______.

2014 · 湖北 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在 (0,+∞)(0, +\infty) 上的函数，且 f(x)>0f(x) > 0，对任意 a>0a > 0，b>0b > 0，若经过点 (a,f(a))(a, f(a))，(b,−f(b))(b, -f(b)) 的直线与 xx 轴的交点为 (c,0)(c, 0)，则称 cc 为 aa，bb 关于函数 f(x)f(x) 的平均数，记为 Mf(a,b)M_{f}(a,b). 例如，当 f(x)=1f(x)=1（x>0x>0）时，可得 Mf(a,b)=c=a+b2M_{f}(a,b)=c=\frac{a+b}{2}，即 Mf(a,b)M_{f}(a,b) 为 aa，bb 的算术平均数.
(1) 当 f(x)=f(x)=______（x>0x>0）时，Mf(a,b)M_f(a, b) 为 aa，bb 的几何平均数； (2) 当 f(x)=f(x)=______（x>0x>0）时，Mf(a,b)M_f(a, b) 为 aa，bb 的调和平均数 2aba+b\frac{2ab}{a + b}. （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

2014 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
某实验室一天的温度（单位：∘C^{\circ}\mathrm{C}）随时间 tt（单位：h\mathrm{h}）的变化近似满足函数关系： f(t)=10−3cos⁡π12t−sin⁡π12tf(t) = 10 - \sqrt{3}\cos \frac{\pi}{12}t - \sin \frac{\pi}{12}t， t∈[0,24)\ t \in [0, 24).
(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于 11 ∘C11 \mathrm{~^{\circ}C}，则在哪段时间实验室需要降温？

2014 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 满足： a1=2a_{1} = 2，且 a1a_{1}，a2a_{2}，a5a_{5} 成等比数列.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式. (2) 记 SnS_{n} 为数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，是否存在正整数 nn，使得 Sn>60n+800S_{n} > 60n + 800？若存在，求出 nn 的最小值；若不存在，说明理由.

2014 · 湖北 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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20概率与统计★★★☆☆
计划在某水库建一座至多安装 3 台3\text{ 台}发电机的水电站，过去 50 年50\text{ 年}的水文资料显示，水库年入流量 XX（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米\text{亿立方米}）都在 4040 以上. 其中，不足 8080 的年份有 10 年10\text{ 年}，不低于 8080 且不超过 120120 的年份有 35 年35\text{ 年}，超过 120120 的年份有 5 年5\text{ 年}. 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
(1) 求未来 4 年4\text{ 年}中，至多有 1 年1\text{ 年}的年入流量超过 120120 的概率； (2) 水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 XX 限制，并有如下关系：
若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元5000\text{ 万元}；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元800\text{ 万元}，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

2014 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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