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共找到 22 题
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01复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 为虚数单位，则 (1−i1+i)2=\left(\frac{1 - \mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}}\right)^2 =（ ）
A.
−1-1
B.
11
C.
−i-\mathrm{i}
D.
i\mathrm{i}

2014 · 湖北 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02计数原理与组合数学★★☆☆☆
若二项式 (2x+αx)7\left(2x + \frac{\alpha}{x}\right)^7 的展开式中 1x3\frac{1}{x^3} 的系数是 8484，则实数 α=\alpha =（ ）
A.
22
B.
43\sqrt[3]{4}
C.
11
D.
234\frac{\sqrt[3]{2}}{4}

2014 · 湖北 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 UU 为全集，AA，BB 是集合，则“存在集合 CC 使得 A⊆CA \subseteq C，B⊆∁UCB \subseteq \complement_U C”是 A∩B=∅A \cap B = \varnothing 的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2014 · 湖北 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04概率与统计★★☆☆☆
根据如下样本数据
得到的回归方程为 y^=bx+a\hat{y} = bx + a，则（ ）
A.
a>0a > 0，b>0b > 0
B.
a>0a > 0，b<0b < 0
C.
a<0a < 0，b>0b > 0
D.
a<0a < 0，b<0b < 0

2014 · 湖北 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
在如图所示的空间直角坐标系 O−xyzO-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是 (0,0,2)(0,0,2)，(2,2,0)(2,2,0)，(1,2,1)(1,2,1)，(2,2,2)(2,2,2). 给出编号为\circled1\circled{1}、\circled2\circled{2}、\circled3\circled{3}、\circled4\circled{4}的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）
A.
\circled1\circled{1}和\circled2\circled{2}
B.
\circled3\circled{3}和\circled1\circled{1}
C.
\circled4\circled{4}和\circled3\circled{3}
D.
\circled4\circled{4}和\circled2\circled{2}

2014 · 湖北 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 满足 ∫−11f(x)g(x) dx=0\int_{-1}^{1} f(x) g(x) \, \mathrm{d}x = 0，则称 f(x)f(x)，g(x)g(x) 为区间 [−1,1][-1, 1] 上的一组正交函数，给出三组函数：
① f(x)=sin⁡x2f(x)=\sin\frac{x}{2}，g(x)=cos⁡x2g(x)=\cos\frac{x}{2}； ② f(x)=x+1f(x)=x+1，g(x)=x−1g(x)=x-1； ③ f(x)=xf(x)=x，g(x)=x2g(x)=x^{2}.
其中为区间 [−1,1][-1, 1] 上的正交函数的组数是（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2014 · 湖北 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
由不等式组
{x⩽0,y⩾0,y−x−2⩽0\begin{cases} x \leqslant 0,\\ y \geqslant 0,\\ y - x - 2 \leqslant 0 \end{cases}
确定的平面区域记为 Ω1\Omega_1，不等式组
{x+y⩽1,x+y⩾−2\begin{cases} x + y \leqslant 1,\\ x + y \geqslant -2 \end{cases}
确定的平面区域记为 Ω2\Omega_2，在 Ω1\Omega_1 中随机取一点，则该点恰好在 Ω2\Omega_2 内的概率为（ ）
A.
18\frac{1}{8}
B.
14\frac{1}{4}
C.
34\frac{3}{4}
D.
78\frac{7}{8}

2014 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08立体几何初步★★☆☆☆
《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长 LL 与高 hh，计算其体积 VV 的近似公式 V≈136L2hV \approx \frac{1}{36} L^2 h. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π\pi 近似取为 33. 那么，近似公式 V≈275L2hV \approx \frac{2}{75} L^2 h 相当于将圆锥体积公式中的圆周率 π\pi 近似取为（ ）
A.
227\frac{22}{7}
B.
258\frac{25}{8}
C.
15750\frac{157}{50}
D.
355113\frac{355}{113}

2014 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★★☆
已知 F1F_{1}，F2F_{2} 是椭圆和双曲线的公共焦点，PP 是它们的一个公共点，且 ∠F1PF2=π3\angle F_{1}PF_{2} = \frac{\pi}{3}，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A.
433\frac{4\sqrt{3}}{3}
B.
233\frac{2\sqrt{3}}{3}
C.
33
D.
22

2014 · 湖北 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，当 x⩾0x \geqslant 0 时，f(x)=12(∣x−a2∣+∣x−2a2∣−3a2)f(x) = \frac{1}{2} (|x - a^2| + |x - 2a^2| - 3a^2). 若 ∀x∈R\forall x \in \mathbf{R}，f(x−1)⩽f(x)f(x - 1) \leqslant f(x)，则实数 aa 的取值范围为（ ）
A.
[−16,16]\left[-\frac{1}{6},\frac{1}{6}\right]
B.
[−66,66]\left[-\frac{\sqrt{6}}{6},\frac{\sqrt{6}}{6}\right]
C.
[−13,13]\left[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right]
D.
[−33,33]\left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]

2014 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11平面向量★★☆☆☆
设向量 a=(3,3)\boldsymbol{a} = (3, 3)，b=(1,−1)\boldsymbol{b} = (1, -1)，若 (a+λb)⊥(a−λb)(\boldsymbol{a} + \lambda \boldsymbol{b}) \perp (\boldsymbol{a} - \lambda \boldsymbol{b})，则实数 λ=\lambda =______.

2014 · 湖北 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
直线 l1:y=x+al_{1}: y = x + a 和 l2:y=x+bl_{2}: y = x + b 分别将单位圆 C:x2+y2=1C: x^{2} + y^{2} = 1 分成长度相等的四段弧，则 a2+b2=a^{2} + b^{2}=______.

2014 · 湖北 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
设 aa 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数. 将组成 aa 的 3 个3\text{ 个}数字按从小到大排成的三位数记为 I(a)I(a)，按从大到小排成的三位数记为 D(a)D(a)（例如 a=815a = 815，则 I(a)=158I(a) = 158，D(a)=851D(a) = 851）. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 aa，输出的结果是 b=b =______.

2014 · 湖北 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在 (0,+∞)(0, +\infty) 上的函数，且 f(x)>0f(x) > 0，对任意 a>0a > 0，b>0b > 0，若经过点 (a,f(a))(a, f(a))，(b,−f(b))(b, -f(b)) 的直线与 xx 轴的交点为 (c,0)(c, 0)，则称 cc 为 aa，bb 关于函数 f(x)f(x) 的平均数，记为 Mf(a,b)M_{f}(a,b). 例如，当 f(x)=1f(x)=1（x>0x>0）时，可得 Mf(a,b)=c=a+b2M_{f}(a,b)=c=\frac{a+b}{2}，即 Mf(a,b)M_{f}(a,b) 为 aa，bb 的算术平均数.
(1) 当 f(x)=f(x)=______（x>0x>0）时，Mf(a,b)M_f(a, b) 为 aa，bb 的几何平均数； (2) 当 f(x)=f(x)=______（x>0x>0）时，Mf(a,b)M_f(a, b) 为 aa，bb 的调和平均数 2aba+b\frac{2ab}{a + b}. （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

2014 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
如图，PP 为 ⊙O\odot O 外一点，过 PP 点作 ⊙O\odot O 的两条切线，切点分别为 AA，BB，过 PAPA 的中点 QQ 作割线交 ⊙O\odot O 于 CC，DD 两点. 若 QC=1QC = 1，CD=3CD = 3，则 PB=PB =______.

2014 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★☆☆☆
已知曲线 C1C_{1} 的参数方程是
{x=t,y=3t3,\begin{cases} x = \sqrt{t},\\ y = \frac{\sqrt{3t}}{3}, \end{cases}
（tt 为参数），以坐标原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2C_{2} 的极坐标方程是 ρ=2\rho = 2，则 C1C_{1} 与 C2C_{2} 交点的直角坐标为______.

2014 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
某实验室一天的温度（单位：∘C^{\circ}\mathrm{C}）随时间 tt（单位：h\mathrm{h}）的变化近似满足函数关系： f(t)=10−3cos⁡π12t−sin⁡π12tf(t) = 10 - \sqrt{3}\cos \frac{\pi}{12}t - \sin \frac{\pi}{12}t， t∈[0,24)\ t \in [0, 24).
(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于 11 ∘C11 \mathrm{~^{\circ}C}，则在哪段时间实验室需要降温？

2014 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 满足： a1=2a_{1} = 2，且 a1a_{1}，a2a_{2}，a5a_{5} 成等比数列.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式. (2) 记 SnS_{n} 为数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，是否存在正整数 nn，使得 Sn>60n+800S_{n} > 60n + 800？若存在，求出 nn 的最小值；若不存在，说明理由.

2014 · 湖北 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，FF，MM，NN 分别是棱 ABAB，ADAD，A1B1A_{1}B_{1}，A1D1A_{1}D_{1} 的中点，点 PP，QQ 分别在棱 DD1DD_{1}，BB1BB_{1} 上移动，且 DP=BQ=λDP = BQ = \lambda（0<λ<20 < \lambda < 2）.
(1) 当 λ=1\lambda = 1 时，证明：直线 BC1BC_{1} ∥\parallel 平面 EFPQEFPQ. (2) 是否存在 λ\lambda，使平面 EFPQEFPQ 与面 PQMNPQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 λ\lambda 的值；若不存在，说明理由.

2014 · 湖北 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20概率与统计★★★☆☆
计划在某水库建一座至多安装 3 台3\text{ 台}发电机的水电站，过去 50 年50\text{ 年}的水文资料显示，水库年入流量 XX（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米\text{亿立方米}）都在 4040 以上. 其中，不足 8080 的年份有 10 年10\text{ 年}，不低于 8080 且不超过 120120 的年份有 35 年35\text{ 年}，超过 120120 的年份有 5 年5\text{ 年}. 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
(1) 求未来 4 年4\text{ 年}中，至多有 1 年1\text{ 年}的年入流量超过 120120 的概率； (2) 水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 XX 限制，并有如下关系：
若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元5000\text{ 万元}；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元800\text{ 万元}，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

2014 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，点 MM 到点 F(1,0)F(1,0) 的距离比它到 yy 轴的距离多 1，记点 MM 的轨迹为 CC.
(1) 求轨迹为 CC 的方程； (2) 设斜率为 kk 的直线 ll 过定点 P(−2,1)P(-2,1)，求直线 ll 与轨迹 CC 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时 kk 的相应取值范围.

2014 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
π\pi 为圆周率，e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 求函数 f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x} 的单调区间； (2) 求 e3\mathrm{e}^{3}，3e3^{\mathrm{e}}，eπ\mathrm{e}^{\pi}，πe\pi^{\mathrm{e}}，3π3^{\pi}，π3\pi^{3} 这 6 个数中的最大数与最小数； (3) 将 e3\mathrm{e}^{3}，3e3^{\mathrm{e}}，eπ\mathrm{e}^{\pi}，πe\pi^{\mathrm{e}}，3π3^{\pi}，π3\pi^{3} 这 6 个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

2014 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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