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07立体几何初步★★★☆☆
设 mm，nn 是平面 α\alpha 内的两条不同直线，l1l_{1}，l2l_{2} 是平面 β\beta 内的两条相交直线，则 α∥β\alpha\parallel\beta 的一个充分而不必要条件是（ ）
\begin{solution} 若m∥l1m\parallel l_1且n∥l2n\parallel l_2，则mm与nn的方向分别平行于平面β\beta内相交直线l1l_1与l2l_2的方向.由于mm，nn在平面α\alpha内且方向不同，平面α\alpha的两个方向均与平面β\beta的两个方向平行，从而α\alpha与β\beta平行.因此 B 是充分条件.
它不是必要条件.例如两平面平行时，可以在α\alpha内任取两条不同直线mm，nn，它们未必分别平行于指定的l1l_1，l2l_2.所以该条件充分而不必要，选 B. \end{solution}
A.
m∥βm\parallel\beta 且 l1∥αl_{1}\parallel\alpha
B.
m∥l1m\parallel l_{1} 且 n∥l2n\parallel l_{2}
C.
m∥βm\parallel\beta 且 n∥βn\parallel\beta
D.
m∥βm\parallel\beta 且 n∥l2n\parallel l_{2}

2009 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 不共线，a⊥c\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c}，∣a∣=∣c∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{c}|，则 ∣b⋅c∣\lvert \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} \rvert 的值一定等于（ ）
\begin{solution} 设θ\theta为a\boldsymbol{a}与b\boldsymbol{b}的夹角.因为a⊥c\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{c}且∣a∣=∣c∣|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{c}|，所以b\boldsymbol{b}与c\boldsymbol{c}的夹角的余弦绝对值等于sin⁡θ\sin\theta.于是
∣b⋅c∣=∣b∣∣c∣∣cos⁡∠(b,c)∣=∣b∣∣a∣sin⁡θ\lvert\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}\rvert =|\boldsymbol{b}||\boldsymbol{c}|\lvert\cos\angle(\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})\rvert =|\boldsymbol{b}||\boldsymbol{a}|\sin\theta
右端正是以a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}为邻边的平行四边形面积.因此选 C. \end{solution}
A.
以 a,b\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} 为两边的三角形面积
B.
以 b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 为两边的三角形面积
C.
以 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为邻边的平行四边形的面积
D.
以 b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 为邻边的平行四边形的面积

2009 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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13解析几何★★★☆☆
过抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px （p>0p > 0）的焦点 FF 作倾斜角为 45∘45^{\circ} 的直线交抛物线于 AA，BB 两点，若线段 ABAB 的长为 88，则 p=p =______.
\begin{solution} 抛物线y2=2pxy^2=2px的焦点为F(p2,0)F\left(\frac{p}{2},0\right).倾斜角为45∘45^{\circ}的直线为 y=x−p2y=x-\frac{p}{2}.代入抛物线得
(x−p2)2=2px⟺x2−3px+p24=0\left(x-\frac{p}{2}\right)^2=2px \quad\Longleftrightarrow\quad x^2-3px+\frac{p^2}{4}=0
设两交点的横坐标为x1x_1，x2x_2，则 ∣x1−x2∣=9p2−p2=22p\lvert x_1-x_2\rvert=\sqrt{9p^2-p^2}=2\sqrt{2}p.由于直线斜率为11，弦长
AB=(x1−x2)2+(y1−y2)2=2∣x1−x2∣=4pAB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} =\sqrt{2}\lvert x_1-x_2\rvert=4p
由AB=8AB=8得p=2p=2. \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14导数及其应用★★★☆☆
若曲线 f(x)=ax3+ln⁡xf(x) = ax^3 + \ln x 存在垂直于 yy 轴的切线，则实数 aa 取值范围是______.
\begin{solution} 函数定义域为x>0x>0，且 f′(x)=3ax2+1xf'(x)=3ax^2+\frac{1}{x}.切线垂直于yy轴即切线水平，所以存在x0>0x_0>0使
f′(x0)=0⟺3ax03+1=0⟺a=−13x03<0f'(x_0)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3ax_0^3+1=0 \quad\Longleftrightarrow\quad a=-\frac{1}{3x_0^3}<0
反之，任取a<0a<0，取x0=−13a3>0x_0=\sqrt[3]{-\frac{1}{3a}}>0，即可使f′(x0)=0f'(x_0)=0.因此aa的取值范围是(−∞,0)(-\infty,0). \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16概率与统计★★★☆☆
从集合 {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\} 的所有非空子集中，等可能地取出一个.
(1) 记性质 rr：集合中的所有元素之和为 1010，求所取出的非空子集满足性质 rr 的概率； (2) 记所取出的非空子集的元素个数为 ξ\xi，求 ξ\xi 的分布列和数学期望 EξE_{\xi}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 非空子集共有25−1=312^5-1=31个，且每个被取出的可能性相同.元素和为1010的非空子集为 {1,4,5}\{1,4,5\}、{2,3,5}\{2,3,5\}、{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}，共33个，所以P(r)=331P(r)=\dfrac{3}{31}.
\item 记所取子集的元素个数为ξ\xi.当ξ=k\xi=k时，从55个元素中选出kk个，共有C5k\mathrm C_5^k种，故 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccccc} ξ\xi&11&22&33&44&55\ \hline PP&531\dfrac{5}{31}&1031\dfrac{10}{31}&1031\dfrac{10}{31}&531\dfrac{5}{31}&131\dfrac{1}{31} \end{tabular} \end{center} 并且
Eξ=1⋅531+2⋅1031+3⋅1031+4⋅531+5⋅131=8031E_{\xi}=1\cdot\frac{5}{31}+2\cdot\frac{10}{31}+3\cdot\frac{10}{31}+4\cdot\frac{5}{31}+5\cdot\frac{1}{31} =\frac{80}{31}
\end{enumerate} \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，四边形 ABCDABCD 是边长为 1 的正方形，MD⊥MD \perp 平面 ABCDABCD，NB⊥NB \perp 平面 ABCDABCD，且 MD=NB=1MD = NB = 1，EE 为 BCBC 的中点.
(1) 求异面直线 NENE 与 AMAM 所成角的余弦值； (2) 在线段 ANAN 上是否存在点 SS，使得 ES⊥ES \perp 平面 AMNAMN？若存在，求线段 ASAS 的长；若不存在，请说明理由.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 建立空间直角坐标系，使DD为原点，DCDC、DADA、DMDM分别为三个坐标轴正方向.则A(0,1,0)A(0,1,0)、B(1,1,0)B(1,1,0)、C(1,0,0)C(1,0,0)、M(0,0,1)M(0,0,1)、N(1,1,1)N(1,1,1)、E(1,12,0)E\left(1,\frac{1}{2},0\right). 于是NE→=(0,−12,−1)\overrightarrow{NE}=\left(0,-\frac{1}{2},-1\right)，AM→=(0,−1,1)\overrightarrow{AM}=(0,-1,1)，且 NE→⋅AM→=−12\overrightarrow{NE}\cdot\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}、∣NE→∣=52|\overrightarrow{NE}|=\frac{\sqrt{5}}{2}、∣AM→∣=2|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{2}. 异面直线所成角取锐角，故其余弦值为
∣NE→⋅AM→∣∣NE→∣∣AM→∣=12102=1010\frac{|\overrightarrow{NE}\cdot\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{NE}||\overrightarrow{AM}|} =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}
\item 设SS在线段ANAN上，令S=A+t(N−A)=(t,1,t)S=A+t(N-A)=(t,1,t)，其中0⩽t⩽10\leqslant t\leqslant1.平面AMNAMN内有 AM→=(0,−1,1)\overrightarrow{AM}=(0,-1,1)，AN→=(1,0,1)\overrightarrow{AN}=(1,0,1)，其法向量可取
AM→×AN→=(−1,1,1)\overrightarrow{AM}\times\overrightarrow{AN}=(-1,1,1)
又ES→=(t−1,12,t)\overrightarrow{ES}=\left(t-1,\frac{1}{2},t\right).要使ES⊥ES\perp平面AMNAMN，必须有ES→\overrightarrow{ES}平行于(−1,1,1)(-1,1,1).比较第二坐标得比例因子为12\frac{1}{2}，于是第一、第三坐标分别给出t−1=−12t-1=-\frac{1}{2}和t=12t=\frac{1}{2}，两者一致.因此存在这样的点SS，且
AS=t∣AN∣=1212+12=22AS=t|AN|=\frac{1}{2}\sqrt{1^2+1^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{enumerate} \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
如图，某市拟在长为 8 km8 \mathrm{~km} 的道路 OPOP 的一侧修建一条运动赛道. 赛道的前一部分为曲线段 OSMOSM，该曲线段为函数 y=Asin⁡ωxy = A \sin \omega x（A>0A > 0，ω>0\omega > 0），x∈[0,4]x \in [0,4] 的图象，且图象的最高点为 S(3,23)S(3, 2\sqrt{3})；赛道的后一部分为折线段 MNPMNP. 为保证参赛运动员的安全，限定 ∠MNP=120∘\angle MNP = 120^{\circ}.
(1) 求 AA，ω\omega 的值和 MM，PP 两点间的距离； (2) 应如何设计，才能使折线段赛道 MNPMNP 最长？
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为图象的最高点为S(3,23)S(3,2\sqrt{3})，所以振幅A=23A=2\sqrt{3}，且sin⁡(3ω)=1\sin(3\omega)=1.写成3ω=π2+2kπ3\omega=\frac{\pi}{2}+2k\pi.由ω>0\omega>0知k⩾0k\geqslant0.若k⩾1k\geqslant1，则前一个最高点的横坐标为3−2πω∈(0,3)3-\frac{2\pi}{\omega}\in(0,3)，与最高点只有SS不符，故k=0k=0，从而ω=π6\omega=\frac{\pi}{6}.
曲线在x=4x=4处的终点为
M(4,23sin⁡2π3)=(4,3)M\left(4,2\sqrt{3}\sin\frac{2\pi}{3}\right)=(4,3)
而P=(8,0)P=(8,0)，所以
MP=(8−4)2+(0−3)2=5MP=\sqrt{(8-4)^2+(0-3)^2}=5
\item 设MN=uMN=u，NP=vNP=v，其中uu，v>0v>0.在三角形MNPMNP中，∠MNP=120∘\angle MNP=120^{\circ}，由余弦定理
MP2=u2+v2−2uvcos⁡120∘=u2+v2+uv=25MP^2=u^2+v^2-2uv\cos120^{\circ}=u^2+v^2+uv=25
因此由u2+v2⩾2uvu^2+v^2\geqslant2uv得25⩾3uv25\geqslant3uv，即uv⩽253uv\leqslant\frac{25}{3}.于是
(u+v)2=u2+v2+2uv=25+uv⩽25+253=1003(u+v)^2=u^2+v^2+2uv=25+uv\leqslant25+\frac{25}{3}=\frac{100}{3}
等号当且仅当u=vu=v，即MN=NPMN=NP.此时三角形为等腰三角形，底角 ∠PMN=∠MPN=180∘−120∘2=30∘\angle PMN=\angle MPN=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ}.所以应设计为MN=NPMN=NP，等价于∠PMN=30∘\angle PMN=30^{\circ}. \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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