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04立体几何初步★★★☆☆
已知 mm，nn 是两条不重合的直线，α\alpha，β\beta，γ\gamma 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
① 若 m⊥αm \perp \alpha，m⊥βm \perp \beta，则 α∥β\alpha \parallel \beta； ② 若 α⊥γ\alpha \perp \gamma，β⊥α\beta \perp \alpha，则 α∥β\alpha \parallel \beta； ③ 若 m⊂αm \subset \alpha，n⊂βn \subset \beta，m∥nm \parallel n，则 α∥β\alpha \parallel \beta； ④ 若 mm，nn 是异面直线，m⊂αm \subset \alpha，m∥βm \parallel \beta，n⊂βn \subset \beta，n∥αn \parallel \alpha，则 α∥β\alpha \parallel \beta.
其中真命题是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 命题\circled1\circled{1}正确：同一直线垂直于两个平面时，这两个平面的法线方向均与该直线平行；又因两平面不重合，所以 α∥β\alpha\parallel\beta.
命题\circled2\circled{2}不正确. 例如取 α:z=0\alpha:z=0、γ:x=0\gamma:x=0、β:y=0\beta:y=0，则 α⊥γ\alpha\perp\gamma、β⊥α\beta\perp\alpha，但 α\alpha 与 β\beta 相交.
命题\circled3\circled{3}不正确. 例如在 α:z=0\alpha:z=0 内取 mm 为 xx 轴，在 β:y=1\beta:y=1 内取与 mm 平行的直线 nn，则 m∥nm\parallel n，但 α\alpha 与 β\beta 不平行.
命题\circled4\circled{4}正确. 若 α\alpha 与 β\beta 相交，设交线为 ll. 由 m⊂αm\subset\alpha 且 m∥βm\parallel\beta，得 m∥lm\parallel l；由 n⊂βn\subset\beta 且 n∥αn\parallel\alpha，得 n∥ln\parallel l. 于是 m∥nm\parallel n，这与 mm，nn 为异面直线矛盾，所以 α∥β\alpha\parallel\beta. 因此真命题是\circled1\circled{1}和\circled4\circled{4}，选 D. \end{solution}
A.
①和②
B.
①和③
C.
③和④
D.
①和④

2005 · 辽宁 · 第 4 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★★☆☆
函数 y=ln⁡(x+x2+1)y = \ln \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) 的反函数是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设原函数的函数值为 yy，则 ey=x+x2+1\mathrm{e}^y=x+\sqrt{x^2+1}. 由于 (x+x2+1)(x2+1−x)=1(x+\sqrt{x^2+1})(\sqrt{x^2+1}-x)=1，有 e−y=x2+1−x\mathrm{e}^{-y}=\sqrt{x^2+1}-x. 两式相减得 2x=ey−e−y2x=\mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}，即 x=ey−e−y2x=\dfrac{\mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}}2. 交换 xx，yy，反函数为 y=ex−e−x2y=\dfrac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}2，选 C. \end{solution}
A.
y=ex+e−x2y = \frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{2}
B.
y=−ex+e−x2y = -\frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{2}
C.
y=ex−e−x2y = \frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{2}
D.
y=−ex−e−x2y = -\frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{2}

2005 · 辽宁 · 第 5 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★★☆☆
若 log⁡2a1+a21+a<0\log_{2a}\frac{1 + a^2}{1 + a} < 0，则 aa 的取值范围是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 对数有意义要求 a>0a>0 且 2a≠12a\ne1. 当 a>12a>\frac12 时，底数 2a>12a>1，要使对数小于零，必须有 0<1+a21+a<10<\dfrac{1+a^2}{1+a}<1. 因 a>0a>0，前一个不等式自动成立；后一个不等式等价于 a2<aa^2<a，即 0<a<10<a<1. 因而得到 12<a<1\frac12<a<1.
当 0<a<120<a<\frac12 时，0<2a<10<2a<1，对数小于零要求真数大于 11，即 a2>aa^2>a，这与 0<a<120<a<\frac12 矛盾. 故取值范围为 (12,1)\left(\frac12,1\right)，选 C. \end{solution}
A.
(12,+∞)\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)
B.
(1,+∞)(1, +\infty)
C.
(12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right)
D.
(0,12)\left(0, \frac{1}{2}\right)

2005 · 辽宁 · 第 6 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
在 R\mathbf{R} 上定义运算 ⊗\otimes：x⊗y=x(1−y)x \otimes y = x(1 - y). 若不等式 (x−a)⊗(x+a)<1(x - a) \otimes (x + a) < 1 对任意实数 xx 成立，则（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由运算定义， (x−a)⊗(x+a)=(x−a)(1−x−a)=−x2+x+a2−a(x-a)\otimes(x+a)=(x-a)(1-x-a)=-x^2+x+a^2-a. 因此题设不等式对任意实数 xx 成立，等价于 −x2+x+a2−a<1-x^2+x+a^2-a<1 对任意 x∈Rx\in\mathbf{R}. 左侧关于 xx 的最大值在 x=12x=\frac12 处取得，最大值为 14+a2−a\frac14+a^2-a. 所以
14+a2−a<1⟺a2−a−34<0⟺−12<a<32\frac14+a^2-a<1 \Longleftrightarrow a^2-a-\frac34<0 \Longleftrightarrow -\frac12<a<\frac32
故选 C. \end{solution}
A.
−1<a<1-1 < a < 1
B.
0<a<20 < a < 2
C.
−12<a<32-\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}
D.
−32<a<12-\frac{3}{2} < a < \frac{1}{2}

2005 · 辽宁 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★★☆☆
若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为 mm，则 mm 的范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 设三个内角依次为 π3−t\frac\pi3-t、π3\frac\pi3、π3+t\frac\pi3+t. 因三角形为钝角三角形，最大角满足 π3+t>π2\frac\pi3+t>\frac\pi2，又必须小于 2π3\frac{2\pi}3，故 π6<t<π3\frac\pi6<t<\frac\pi3. 由正弦定理，最大边与最小边的比值为 m=sin⁡(π3+t)sin⁡(π3−t)m=\dfrac{\sin(\frac\pi3+t)}{\sin(\frac\pi3-t)}. 对 mm 求导得 m′(t)=sin⁡(2π3)sin⁡2(π3−t)>0m'(t)=\dfrac{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{\sin^2\left(\frac\pi3-t\right)}>0. 当 t→π6+t\to\frac\pi6+ 时，m→112=2m\to\frac1{\frac{1}{2}}=2；当 t→π3−t\to\frac\pi3- 时，分母趋于 0+0^+，故 m→+∞m\to+\infty. 因而 m∈(2,+∞)m\in(2,+\infty)，选 B. \end{solution}
A.
(1,2)(1,2)
B.
(2,+∞)(2, +\infty)
C.
[3,+∞)[3, +\infty)
D.
(3,+∞)(3, +\infty)

2005 · 辽宁 · 第 8 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
已知 y=f(x)y = f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的单调函数，实数 x1≠x2x_{1} \neq x_{2}，λ≠−1\lambda \neq -1， α=x1+λx21+λ\alpha = \frac{x_{1} + \lambda x_{2}}{1 + \lambda}，β=x2+λx11+λ\beta = \frac{x_{2} + \lambda x_{1}}{1 + \lambda}. 若 ∣f(x1)−f(x2)∣<∣f(α)−f(β)∣|f(x_{1}) - f(x_{2})| < |f(\alpha) - f(\beta)|，则（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 不妨设 x1<x2x_1<x_2. 若 λ⩾0\lambda\geqslant0，则 有 α=11+λx1+λ1+λx2\alpha=\frac1{1+\lambda}x_1+\frac\lambda{1+\lambda}x_2，β=λ1+λx1+11+λx2\beta=\frac\lambda{1+\lambda}x_1+\frac1{1+\lambda}x_2， 所以 α\alpha，β∈[x1,x2]\beta\in[x_1,x_2]. 因 ff 单调，区间 [α,β][\alpha,\beta] 上的函数值差的绝对值不超过区间 [x1,x2][x_1,x_2] 上端点函数值差，即 ∣f(α)−f(β)∣⩽∣f(x1)−f(x2)∣|f(\alpha)-f(\beta)|\leqslant|f(x_1)-f(x_2)|， 与题设矛盾. 因此必须有 λ<0\lambda<0，选 A. \end{solution}
A.
λ<0\lambda < 0
B.
λ=0\lambda = 0
C.
0<λ<10 < \lambda < 1
D.
λ⩾1\lambda \geqslant 1

2005 · 辽宁 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
已知双曲线的中心在原点，离心率为 3\sqrt{3}. 若它的一条准线与抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 的准线重合，则该双曲线与抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 的交点到原点的距离是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 抛物线 y2=4xy^2=4x 的焦点为 (1,0)(1,0)，准线为 x=−1x=-1. 双曲线的一条准线与其重合，故双曲线为横轴型，设其方程为 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，且 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2，ca=3\frac ca=\sqrt3. 双曲线准线为 x=±aex=\pm\frac ae，由 ae=1\frac ae=1 得 a=3a=\sqrt3，进而 c=3c=3、b2=6b^2=6. 与抛物线联立：
x23−4x6=1⟺x2−2x−3=0\frac{x^2}{3}-\frac{4x}{6}=1 \Longleftrightarrow x^2-2x-3=0
解得 x=3x=3 或 x=−1x=-1，抛物线要求 x⩾0x\geqslant0，故交点的横坐标为 33，且 y2=12y^2=12. 交点到原点的距离为
x2+y2=9+12=21\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{9+12}=\sqrt{21}
选 B. \end{solution}
A.
23+62\sqrt{3}+\sqrt{6}
B.
21\sqrt{21}
C.
18+12218+12\sqrt{2}
D.
2121

2005 · 辽宁 · 第 11 题 · 选择题

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14立体几何初步★★★☆☆
如图，正方体的棱长为 11，CC，DD 分别是两条棱的中点，AA，BB，MM 是顶点，那么点 MM 到截面 ABCDABCD 的距离是______.
\begin{answer} 23\frac{2}{3} \end{answer}
\begin{solution} 建立直角坐标系，取 A=(0,0,0)A=(0,0,0)，令 AMAM 方向、底面内从后向前的方向和竖直向上方向分别为三个坐标轴方向，则 M=(1,0,0)M=(1,0,0)，B=(1,1,0)B=(1,1,0)，D=(12,0,1)D=\left(\frac12,0,1\right)，C=(1,12,1)C=\left(1,\frac12,1\right). 平面 ABCDABCD 内有 AB→=(1,1,0)\overrightarrow{AB}=(1,1,0)，AD→=(12,0,1)\overrightarrow{AD}=\left(\frac12,0,1\right). 其法向量可取 AB→×AD→=(1,−1,−12)\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\left(1,-1,-\frac12\right)， 所以平面 ABCDABCD 的方程为 2x−2y−z=02x-2y-z=0. 因而点 MM 到该平面的距离为
∣2⋅1−2⋅0−0∣22+(−2)2+(−1)2=23\frac{|2\cdot1-2\cdot0-0|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+(-1)^2}} =\frac23
\end{solution}

2005 · 辽宁 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
用 11，22，33，44，55，66，77，88 组成没有重复数字的八位数，要求 11 和 22 相邻，33 与 44 相邻，55 与 66 相邻，而 77 与 88 不相邻，这样的八位数共有______个.（用数字作答）
\begin{answer} 576 \end{answer}
\begin{solution} 把相邻的 1,21,2、3,43,4、5,65,6 分别看作三个整体，每个整体内部都有 22 种排列方式. 先不考虑 7,87,8 相邻的限制，五个对象 (12)(12)，(34)(34)，(56)(56)，77，88 的排列数为 5!5!，故共有 5!⋅235!\cdot2^3 种.
其中 7,87,8 相邻时，把 7,87,8 再看作一个整体，该整体有 22 种内部排列，四个对象的排列数为 4!⋅244!\cdot2^4. 因而满足题意的八位数共有 5!⋅23−4!⋅24=960−384=5765!\cdot2^3-4!\cdot2^4=960-384=576 个. \end{solution}

2005 · 辽宁 · 第 15 题 · 填空题

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20概率与统计★★★☆☆
某工厂生产甲，乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有 AA，BB 两个等级. 对每种产品，两道工序的加工结果都为 AA 级时，产品为一等品，其余均为二等品.
(1) 已知甲，乙两种产品每一道工序的加工结果为 AA 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲，乙产品为一等品的概率 P甲P_{\text{甲}}，P乙P_{\text{乙}}.
乙0.750.750.80.8
表一 (2) 已知一件产品的利润如表二所示，用 ξ\xi，η\eta 分别表示一件甲，乙产品的利润，在（1）的条件下，求 ξ\xi，η\eta 的分布列及 E(ξ)E(\xi)，E(η)E(\eta).
乙2.5 万元2.5\text{ 万元}1.5 万元1.5\text{ 万元}
表二 (3) 已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示. 该工厂有工人 4040 名，可用资金 6060 万元. 设 xx，yy 分别表示生产甲，乙产品的数量，在（2）的条件下，xx，yy 为何值时，z=xE(ξ)+yE(η)z = xE(\xi) + yE(\eta) 最大？最大值是多少？
乙221010
表三
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 两道工序相互独立，且一等品要求两道工序均为 AA 级，因此 P甲=0.8×0.85=0.68P_{\text{甲}}=0.8\times0.85=0.68，P乙=0.75×0.8=0.6P_{\text{乙}}=0.75\times0.8=0.6.
\item 甲产品一等品的利润为 55 万元，二等品的利润为 2.52.5 万元，所以 P(ξ=5)=0.68P(\xi=5)=0.68，P(ξ=2.5)=1−0.68=0.32P(\xi=2.5)=1-0.68=0.32，E(ξ)=5×0.68+2.5×0.32=4.2E(\xi)=5\times0.68+2.5\times0.32=4.2. 同理，乙产品的分布为 P(η=2.5)=0.6P(\eta=2.5)=0.6，P(η=1.5)=0.4P(\eta=1.5)=0.4，且 E(η)=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1E(\eta)=2.5\times0.6+1.5\times0.4=2.1.
\item 由表三，生产数量 xx，yy 应满足 8x+2y⩽408x+2y\leqslant40，8x+10y⩽608x+10y\leqslant60，x⩾0x\geqslant0，y⩾0y\geqslant0. 目标函数为 z=xE(ξ)+yE(η)=4.2x+2.1yz=xE(\xi)+yE(\eta)=4.2x+2.1y. 因为 xx，yy 表示产品的数量，所以 xx，yy 为非负整数. 由约束条件得 0⩽x⩽50\leqslant x\leqslant5. 对每个可能的 xx，由 y⩽20−4xy\leqslant20-4x，y⩽6−45xy\leqslant6-\frac45x 可取的最大整数 yy 依次为 66，55，44，33，22，00. 由于 zz 关于 yy 的系数 2.1>02.1>0，固定 xx 时应取上述最大值. 又 z=4.2x+2.1y=2.1(2x+y)z=4.2x+2.1y=2.1(2x+y)， 所以 2x+y2x+y 的最大值依次为 66，77，88，99，1010，1010. 因而当 (x,y)=(4,2)(x,y)=(4,2) 或 (5,0)(5,0) 时，zz 取得最大值，最大值为 zmax⁡=2.1×10=21z_{\max}=2.1\times10=21. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 辽宁 · 第 20 题 · 解答题

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