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01复数★☆☆☆☆
复数 z=−1+i1+i−1z = \frac{-1 + \mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} - 1 在复平面内，zz 所对应的点在（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 有 −1+i1+i=(−1+i)(1−i)(1+i)(1−i)=i\frac{-1+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{(-1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=\mathrm{i}， 所以 z=i−1=−1+iz=\mathrm{i}-1=-1+\mathrm{i}. 该复数的实部为负，虚部为正，故它所对应的点在第二象限，选 B. \end{solution}
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2005 · 辽宁 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
极限 lim⁡x→x0f(x)\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) 存在是函数 f(x)f(x) 在点 x=x0x = x_0 处连续的（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 若函数 f(x)f(x) 在 x0x_0 处连续，则由连续性的定义可知 lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)，因此极限存在是连续的必要条件. 但极限存在不一定连续，例如令 f(x)=1f(x)=1（x≠x0x\ne x_0），f(x0)=0f(x_0)=0，则极限存在而函数在 x0x_0 处不连续. 因此极限存在是必要而不充分的条件，选 B. \end{solution}
A.
充分而不必要的条件
B.
必要而不充分的条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要的条件

2005 · 辽宁 · 第 2 题 · 选择题

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03概率与统计★★☆☆☆
设袋中有 8080 个红球，2020 个白球，若从袋中任取 1010 个球，则其中恰有 66 个红球的概率为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 从 100100 个球中任取 1010 个球的取法数为 C10010\mathrm C_{100}^{10}. 恰有 66 个红球时，需从 8080 个红球中取 66 个，并从 2020 个白球中取 44 个，故所求概率为 C806C204C10010\dfrac{\mathrm C_{80}^{6}\mathrm C_{20}^{4}}{\mathrm C_{100}^{10}}， 对应选项 D. \end{solution}
A.
C804⋅C106C10010\frac{\mathrm C_{80}^{4}\cdot \mathrm C_{10}^{6}}{\mathrm C_{100}^{10}}
B.
C806⋅C104C10010\frac{\mathrm C_{80}^{6}\cdot \mathrm C_{10}^{4}}{\mathrm C_{100}^{10}}
C.
C804⋅C206C10010\frac{\mathrm C_{80}^{4}\cdot \mathrm C_{20}^{6}}{\mathrm C_{100}^{10}}
D.
C806⋅C204C10010\frac{\mathrm C_{80}^{6}\cdot \mathrm C_{20}^{4}}{\mathrm C_{100}^{10}}

2005 · 辽宁 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★★☆☆
已知 mm，nn 是两条不重合的直线，α\alpha，β\beta，γ\gamma 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
① 若 m⊥αm \perp \alpha，m⊥βm \perp \beta，则 α∥β\alpha \parallel \beta； ② 若 α⊥γ\alpha \perp \gamma，β⊥α\beta \perp \alpha，则 α∥β\alpha \parallel \beta； ③ 若 m⊂αm \subset \alpha，n⊂βn \subset \beta，m∥nm \parallel n，则 α∥β\alpha \parallel \beta； ④ 若 mm，nn 是异面直线，m⊂αm \subset \alpha，m∥βm \parallel \beta，n⊂βn \subset \beta，n∥αn \parallel \alpha，则 α∥β\alpha \parallel \beta.
其中真命题是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 命题\circled1\circled{1}正确：同一直线垂直于两个平面时，这两个平面的法线方向均与该直线平行；又因两平面不重合，所以 α∥β\alpha\parallel\beta.
命题\circled2\circled{2}不正确. 例如取 α:z=0\alpha:z=0、γ:x=0\gamma:x=0、β:y=0\beta:y=0，则 α⊥γ\alpha\perp\gamma、β⊥α\beta\perp\alpha，但 α\alpha 与 β\beta 相交.
命题\circled3\circled{3}不正确. 例如在 α:z=0\alpha:z=0 内取 mm 为 xx 轴，在 β:y=1\beta:y=1 内取与 mm 平行的直线 nn，则 m∥nm\parallel n，但 α\alpha 与 β\beta 不平行.
命题\circled4\circled{4}正确. 若 α\alpha 与 β\beta 相交，设交线为 ll. 由 m⊂αm\subset\alpha 且 m∥βm\parallel\beta，得 m∥lm\parallel l；由 n⊂βn\subset\beta 且 n∥αn\parallel\alpha，得 n∥ln\parallel l. 于是 m∥nm\parallel n，这与 mm，nn 为异面直线矛盾，所以 α∥β\alpha\parallel\beta. 因此真命题是\circled1\circled{1}和\circled4\circled{4}，选 D. \end{solution}
A.
①和②
B.
①和③
C.
③和④
D.
①和④

2005 · 辽宁 · 第 4 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★★☆☆
函数 y=ln⁡(x+x2+1)y = \ln \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) 的反函数是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设原函数的函数值为 yy，则 ey=x+x2+1\mathrm{e}^y=x+\sqrt{x^2+1}. 由于 (x+x2+1)(x2+1−x)=1(x+\sqrt{x^2+1})(\sqrt{x^2+1}-x)=1，有 e−y=x2+1−x\mathrm{e}^{-y}=\sqrt{x^2+1}-x. 两式相减得 2x=ey−e−y2x=\mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}，即 x=ey−e−y2x=\dfrac{\mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}}2. 交换 xx，yy，反函数为 y=ex−e−x2y=\dfrac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}2，选 C. \end{solution}
A.
y=ex+e−x2y = \frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{2}
B.
y=−ex+e−x2y = -\frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{2}
C.
y=ex−e−x2y = \frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{2}
D.
y=−ex−e−x2y = -\frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{2}

2005 · 辽宁 · 第 5 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★★☆☆
若 log⁡2a1+a21+a<0\log_{2a}\frac{1 + a^2}{1 + a} < 0，则 aa 的取值范围是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 对数有意义要求 a>0a>0 且 2a≠12a\ne1. 当 a>12a>\frac12 时，底数 2a>12a>1，要使对数小于零，必须有 0<1+a21+a<10<\dfrac{1+a^2}{1+a}<1. 因 a>0a>0，前一个不等式自动成立；后一个不等式等价于 a2<aa^2<a，即 0<a<10<a<1. 因而得到 12<a<1\frac12<a<1.
当 0<a<120<a<\frac12 时，0<2a<10<2a<1，对数小于零要求真数大于 11，即 a2>aa^2>a，这与 0<a<120<a<\frac12 矛盾. 故取值范围为 (12,1)\left(\frac12,1\right)，选 C. \end{solution}
A.
(12,+∞)\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)
B.
(1,+∞)(1, +\infty)
C.
(12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right)
D.
(0,12)\left(0, \frac{1}{2}\right)

2005 · 辽宁 · 第 6 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
在 R\mathbf{R} 上定义运算 ⊗\otimes：x⊗y=x(1−y)x \otimes y = x(1 - y). 若不等式 (x−a)⊗(x+a)<1(x - a) \otimes (x + a) < 1 对任意实数 xx 成立，则（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由运算定义， (x−a)⊗(x+a)=(x−a)(1−x−a)=−x2+x+a2−a(x-a)\otimes(x+a)=(x-a)(1-x-a)=-x^2+x+a^2-a. 因此题设不等式对任意实数 xx 成立，等价于 −x2+x+a2−a<1-x^2+x+a^2-a<1 对任意 x∈Rx\in\mathbf{R}. 左侧关于 xx 的最大值在 x=12x=\frac12 处取得，最大值为 14+a2−a\frac14+a^2-a. 所以
14+a2−a<1⟺a2−a−34<0⟺−12<a<32\frac14+a^2-a<1 \Longleftrightarrow a^2-a-\frac34<0 \Longleftrightarrow -\frac12<a<\frac32
故选 C. \end{solution}
A.
−1<a<1-1 < a < 1
B.
0<a<20 < a < 2
C.
−12<a<32-\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}
D.
−32<a<12-\frac{3}{2} < a < \frac{1}{2}

2005 · 辽宁 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★★☆☆
若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为 mm，则 mm 的范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 设三个内角依次为 π3−t\frac\pi3-t、π3\frac\pi3、π3+t\frac\pi3+t. 因三角形为钝角三角形，最大角满足 π3+t>π2\frac\pi3+t>\frac\pi2，又必须小于 2π3\frac{2\pi}3，故 π6<t<π3\frac\pi6<t<\frac\pi3. 由正弦定理，最大边与最小边的比值为 m=sin⁡(π3+t)sin⁡(π3−t)m=\dfrac{\sin(\frac\pi3+t)}{\sin(\frac\pi3-t)}. 对 mm 求导得 m′(t)=sin⁡(2π3)sin⁡2(π3−t)>0m'(t)=\dfrac{\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{\sin^2\left(\frac\pi3-t\right)}>0. 当 t→π6+t\to\frac\pi6+ 时，m→112=2m\to\frac1{\frac{1}{2}}=2；当 t→π3−t\to\frac\pi3- 时，分母趋于 0+0^+，故 m→+∞m\to+\infty. 因而 m∈(2,+∞)m\in(2,+\infty)，选 B. \end{solution}
A.
(1,2)(1,2)
B.
(2,+∞)(2, +\infty)
C.
[3,+∞)[3, +\infty)
D.
(3,+∞)(3, +\infty)

2005 · 辽宁 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★☆☆☆
若直线 2x−y+c=02x - y + c = 0 按向量 a=(1,−1)\boldsymbol{a} = (1, -1) 平移后与圆 x2+y2=5x^{2} + y^{2} = 5 相切，则 cc 的值为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 平移后直线上的点 (x,y)(x,y) 对应于原直线上的点 (x−1,y+1)(x-1,y+1)，所以平移后的直线方程为 2(x−1)−(y+1)+c=02(x-1)-(y+1)+c=0， 即 2x−y+c−3=02x-y+c-3=0. 该直线与圆 x2+y2=5x^2+y^2=5 相切，当且仅当原点到直线的距离等于圆半径 5\sqrt5，即 ∣c−3∣5=5\frac{|c-3|}{\sqrt5}=\sqrt5. 所以 ∣c−3∣=5|c-3|=5，得 c=8c=8 或 c=−2c=-2，选 A. \end{solution}
A.
88 或 −2-2
B.
66 或 −4-4
C.
44 或 −6-6
D.
22 或 −8-8

2005 · 辽宁 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
已知 y=f(x)y = f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的单调函数，实数 x1≠x2x_{1} \neq x_{2}，λ≠−1\lambda \neq -1， α=x1+λx21+λ\alpha = \frac{x_{1} + \lambda x_{2}}{1 + \lambda}，β=x2+λx11+λ\beta = \frac{x_{2} + \lambda x_{1}}{1 + \lambda}. 若 ∣f(x1)−f(x2)∣<∣f(α)−f(β)∣|f(x_{1}) - f(x_{2})| < |f(\alpha) - f(\beta)|，则（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 不妨设 x1<x2x_1<x_2. 若 λ⩾0\lambda\geqslant0，则 有 α=11+λx1+λ1+λx2\alpha=\frac1{1+\lambda}x_1+\frac\lambda{1+\lambda}x_2，β=λ1+λx1+11+λx2\beta=\frac\lambda{1+\lambda}x_1+\frac1{1+\lambda}x_2， 所以 α\alpha，β∈[x1,x2]\beta\in[x_1,x_2]. 因 ff 单调，区间 [α,β][\alpha,\beta] 上的函数值差的绝对值不超过区间 [x1,x2][x_1,x_2] 上端点函数值差，即 ∣f(α)−f(β)∣⩽∣f(x1)−f(x2)∣|f(\alpha)-f(\beta)|\leqslant|f(x_1)-f(x_2)|， 与题设矛盾. 因此必须有 λ<0\lambda<0，选 A. \end{solution}
A.
λ<0\lambda < 0
B.
λ=0\lambda = 0
C.
0<λ<10 < \lambda < 1
D.
λ⩾1\lambda \geqslant 1

2005 · 辽宁 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★☆☆
已知双曲线的中心在原点，离心率为 3\sqrt{3}. 若它的一条准线与抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 的准线重合，则该双曲线与抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 的交点到原点的距离是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 抛物线 y2=4xy^2=4x 的焦点为 (1,0)(1,0)，准线为 x=−1x=-1. 双曲线的一条准线与其重合，故双曲线为横轴型，设其方程为 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，且 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2，ca=3\frac ca=\sqrt3. 双曲线准线为 x=±aex=\pm\frac ae，由 ae=1\frac ae=1 得 a=3a=\sqrt3，进而 c=3c=3、b2=6b^2=6. 与抛物线联立：
x23−4x6=1⟺x2−2x−3=0\frac{x^2}{3}-\frac{4x}{6}=1 \Longleftrightarrow x^2-2x-3=0
解得 x=3x=3 或 x=−1x=-1，抛物线要求 x⩾0x\geqslant0，故交点的横坐标为 33，且 y2=12y^2=12. 交点到原点的距离为
x2+y2=9+12=21\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{9+12}=\sqrt{21}
选 B. \end{solution}
A.
23+62\sqrt{3}+\sqrt{6}
B.
21\sqrt{21}
C.
18+12218+12\sqrt{2}
D.
2121

2005 · 辽宁 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
一给定函数 y=f(x)y = f(x) 的图象在下列图中，并且对任意 a1∈(0,1)a_{1} \in (0,1)，由关系式 an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n) 得到的数列 {an}\{a_n\} 满足 an+1>ana_{n+1} > a_n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），则该函数的图象是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由于 a1a_1 可以是 (0,1)(0,1) 中的任意数，令 a1=xa_1=x，则由 a2>a1a_2>a_1 必须有 f(x)>xf(x)>x（0<x<10<x<1）. 因此函数图象在开区间 0<x<10<x<1 内必须位于直线 y=xy=x 的上方；同时，为了使递推对任意这样的初值继续成立，图象还应把 (0,1)(0,1) 映入自身. 图 A 满足这两个条件：对 0<x<10<x<1，有 x<f(x)<1x<f(x)<1，所以由归纳法可得 0<an<10<a_n<1 且 an+1>ana_{n+1}>a_n. 图 B、C、D 均存在 x∈(0,1)x\in(0,1) 使图象不在直线 y=xy=x 上方，不能满足题设. 故选 A. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2005 · 辽宁 · 第 12 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x12−2x−12)n\left(x^{\frac{1}{2}} - 2x^{-\frac{1}{2}}\right)^{n} 的展开式中常数项是______.
\begin{answer} 若 n=2kn=2k（kk 为非负整数），常数项为 (−2)kC2kk(-2)^k\mathrm C_{2k}^{k}；若 nn 为奇数，则无常数项. \end{answer}
\begin{solution} 展开式的第 k+1k+1 项为
Cnk(x12)n−k(−2x−12)k=Cnk(−2)kxn−2k2\mathrm C_n^k\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{n-k}\left(-2x^{-\frac{1}{2}}\right)^k =\mathrm C_n^k(-2)^k x^{\frac{n-2k}{2}}
要得到常数项，必须有 n−2k2=0\frac{n-2k}{2}=0，即 k=n2k=\frac n2. 因此，只有当 n=2kn=2k 为偶数时才有常数项，其系数为 (−2)kC2kk(-2)^k\mathrm C_{2k}^{k}；当 nn 为奇数时不存在满足条件的整数 kk，所以没有常数项. \end{solution}

2005 · 辽宁 · 第 13 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★☆☆
如图，正方体的棱长为 11，CC，DD 分别是两条棱的中点，AA，BB，MM 是顶点，那么点 MM 到截面 ABCDABCD 的距离是______.
\begin{answer} 23\frac{2}{3} \end{answer}
\begin{solution} 建立直角坐标系，取 A=(0,0,0)A=(0,0,0)，令 AMAM 方向、底面内从后向前的方向和竖直向上方向分别为三个坐标轴方向，则 M=(1,0,0)M=(1,0,0)，B=(1,1,0)B=(1,1,0)，D=(12,0,1)D=\left(\frac12,0,1\right)，C=(1,12,1)C=\left(1,\frac12,1\right). 平面 ABCDABCD 内有 AB→=(1,1,0)\overrightarrow{AB}=(1,1,0)，AD→=(12,0,1)\overrightarrow{AD}=\left(\frac12,0,1\right). 其法向量可取 AB→×AD→=(1,−1,−12)\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\left(1,-1,-\frac12\right)， 所以平面 ABCDABCD 的方程为 2x−2y−z=02x-2y-z=0. 因而点 MM 到该平面的距离为
∣2⋅1−2⋅0−0∣22+(−2)2+(−1)2=23\frac{|2\cdot1-2\cdot0-0|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+(-1)^2}} =\frac23
\end{solution}

2005 · 辽宁 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
用 11，22，33，44，55，66，77，88 组成没有重复数字的八位数，要求 11 和 22 相邻，33 与 44 相邻，55 与 66 相邻，而 77 与 88 不相邻，这样的八位数共有______个.（用数字作答）
\begin{answer} 576 \end{answer}
\begin{solution} 把相邻的 1,21,2、3,43,4、5,65,6 分别看作三个整体，每个整体内部都有 22 种排列方式. 先不考虑 7,87,8 相邻的限制，五个对象 (12)(12)，(34)(34)，(56)(56)，77，88 的排列数为 5!5!，故共有 5!⋅235!\cdot2^3 种.
其中 7,87,8 相邻时，把 7,87,8 再看作一个整体，该整体有 22 种内部排列，四个对象的排列数为 4!⋅244!\cdot2^4. 因而满足题意的八位数共有 5!⋅23−4!⋅24=960−384=5765!\cdot2^3-4!\cdot2^4=960-384=576 个. \end{solution}

2005 · 辽宁 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
ω\omega 是正实数. 设 Sω={θ∣f(x)=cos⁡[ω(x+θ)] 是奇函数}S_{\omega} = \{\theta \mid f(x) = \cos[\omega(x + \theta)] \text{ 是奇函数}\}，若对每个实数 aa，Sω∩(a,a+1)S_{\omega} \cap (a, a + 1) 的元素不超过 22 个，且有 aa 使 Sω∩(a,a+1)S_{\omega} \cap (a, a + 1) 含 22 个元素，则 ω\omega 的取值范围是______.
\begin{answer} (π,2π]\left(\pi, 2\pi\right] \end{answer}
\begin{solution} 由 f(x)=cos⁡[ω(x+θ)]f(x)=\cos[\omega(x+\theta)] 为奇函数，先令 x=0x=0，得到 cos⁡(ωθ)=0\cos(\omega\theta)=0. 反过来，若 cos⁡(ωθ)=0\cos(\omega\theta)=0，则 cos⁡[ω(−x+θ)]=−cos⁡[ω(x+θ)]\cos[\omega(-x+\theta)]=-\cos[\omega(x+\theta)]， 所以
Sω={π2+kπω∣k∈Z}S_{\omega}=\left\{\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{\omega}\mid k\in\mathbf{Z}\right\}
相邻两个元素的距离为 d=πωd=\frac{\pi}{\omega}. 任意长度为 11 的开区间中元素不超过两个，当且仅当 2d⩾12d\geqslant1；存在某个这样的开区间含有两个元素，当且仅当 d<1d<1. 因而 12⩽πω<1\frac12\leqslant\frac{\pi}{\omega}<1， 即 π<ω⩽2π\pi<\omega\leqslant2\pi. \end{solution}

2005 · 辽宁 · 第 16 题 · 填空题

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17立体几何初步★★★★☆
已知三棱锥 P−ABCP-ABC 中，EE，FF 分别是 ACAC，ABAB 的中点，△ABC\triangle ABC，△PEF\triangle PEF 都是正三角形，PF⊥ABPF \perp AB.
(1) 证明：PC⊥PC \perp 平面 PABPAB； (2) 求二面角 P−AB−CP-AB-C 的平面角的余弦值； (3) 若点 PP，AA，BB，CC 在一个表面积为 12π12\pi 的球面上，求 △ABC\triangle ABC 的边长.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设正三角形 ABCABC 的边长为 aa. 由 EE 是 ACAC 的中点，且 △PEF\triangle PEF 与 △ABC\triangle ABC 都是正三角形，有 PE=EF=a2PE=EF=\frac a2，AE=CE=a2AE=CE=\frac a2. 因此 EE 到 AA，CC，PP 三点的距离相等，EE 是 △APC\triangle APC 外接圆的圆心，而 ACAC 是该圆的直径，从而 ∠APC=90∘\angle APC=90^\circ，即 AP⊥PCAP\perp PC.
又因为 FF 是正三角形 ABCABC 的边 ABAB 的中点，所以 CF⊥ABCF\perp AB；题设给出 PF⊥ABPF\perp AB. 直线 PFPF，CFCF 在平面 PFCPFC 内相交，故 AB⊥AB\perp 平面 PFCPFC，从而 PC⊥ABPC\perp AB. 直线 APAP，ABAB 是平面 PABPAB 内相交的两条直线，且 PCPC 同时垂直于它们，所以 PC⊥PC\perp 平面 PABPAB.
\item 因为 PF⊥ABPF\perp AB，CF⊥ABCF\perp AB，所以 ∠PFC\angle PFC 是二面角 P−AB−CP-AB-C 的平面角. 又 PF=AF=a2PF=AF=\frac a2，PF⊥AFPF\perp AF， 故在直角三角形 PAFPAF 中， PA2=PF2+AF2=a22PA^2=PF^2+AF^2=\frac{a^2}{2}. 由第（1）问，△APC\triangle APC 在 PP 处直角，所以
PC2=AC2−PA2=a2−a22=a22PC^2=AC^2-PA^2=a^2-\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{2}
正三角形的中线给出 CF=32aCF=\frac{\sqrt3}{2}a. 在 △PFC\triangle PFC 中应用余弦定理，得
cos⁡∠PFC=PF2+CF2−PC22PF⋅CF=a24+3a24−a222⋅a2⋅3a2=33\cos\angle PFC =\frac{PF^2+CF^2-PC^2}{2PF\cdot CF} =\frac{\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{2}}{2\cdot\frac a2\cdot\frac{\sqrt3 a}{2}} =\frac{\sqrt3}{3}
\item 由 BF=AF=a2BF=AF=\frac a2 且 PF⊥ABPF\perp AB，同理可得 PB2=PF2+BF2=a22PB^2=PF^2+BF^2=\frac{a^2}{2}. 于是 PA=PB=PC=a2PA=PB=PC=\frac{a}{\sqrt2}. 又 PA2+PB2=a2=AB2PA^2+PB^2=a^2=AB^2， 所以 PA⊥PBPA\perp PB；结合第（1）问的 PC⊥PC\perp 平面 PABPAB，从点 PP 出发的三条棱 PAPA，PBPB，PCPC 两两垂直.
设球的半径为 RR. 由球的表面积为 12π12\pi，得 4πR2=12π4\pi R^2=12\pi，所以 R=3R=\sqrt3. 对于三条两两垂直且长度均为 s=a2s=\frac a{\sqrt2} 的棱，球心到点 PP，AA，BB，CC 的距离相等，故球心在三条棱方向上的坐标均为 s2\frac s2，从而 R2=3(s2)2=3a28R^2=3\left(\frac s2\right)^2=\frac{3a^2}{8}. 代入 R2=3R^2=3，得 a2=8a^2=8，所以 △ABC\triangle ABC 的边长为 222\sqrt2. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 辽宁 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
如图，在直径为 11 的圆 OO 中，作一关于圆心对称，邻边互相垂直的十字形，其中 y>x>0y > x > 0.
(1) 将十字形的面积表示为 θ\theta 的函数； (2) θ\theta 为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设图中十字形的横、纵两个长方形的长边均为 yy，短边均为 xx. 两个长方形的公共部分是边长为 xx 的正方形，所以十字形面积为 S=2xy−x2S=2xy-x^2. 由图中半径方向形成的直角三角形及圆的直径为 11，有 x=cos⁡θx=\cos\theta，y=sin⁡θy=\sin\theta. 条件 y>x>0y>x>0 给出 π4<θ<π2\frac\pi4<\theta<\frac\pi2，故 S(θ)=2sin⁡θcos⁡θ−cos⁡2θS(\theta)=2\sin\theta\cos\theta-\cos^2\theta.
\item 对上式求导，得 S′(θ)=2cos⁡2θ+sin⁡2θS'(\theta)=2\cos2\theta+\sin2\theta. 在 π4<θ<π2\frac\pi4<\theta<\frac\pi2 内，令 S′(θ)=0S'(\theta)=0，则 2cos⁡2θ+sin⁡2θ=02\cos2\theta+\sin2\theta=0. 因为 π2<2θ<π\frac\pi2<2\theta<\pi，所以 sin⁡2θ=25\sin2\theta=\frac2{\sqrt5}，cos⁡2θ=−15\cos2\theta=-\frac1{\sqrt5}. 因而 θ=π4+12arccos⁡25\theta=\frac\pi4+\frac12\arccos\frac2{\sqrt5}. 此时
S=sin⁡2θ−cos⁡2θ=25−1+cos⁡2θ2=25−1−152=5−12S=\sin2\theta-\cos^2\theta =\frac2{\sqrt5}-\frac{1+\cos2\theta}{2} =\frac2{\sqrt5}-\frac{1-\frac1{\sqrt5}}2 =\frac{\sqrt5-1}{2}
区间端点不属于定义域；当 θ→π4+\theta\to\frac\pi4+ 和 θ→π2−\theta\to\frac\pi2- 时，面积分别趋于 12\frac12 和 00，均小于上述驻点处的面积. 又上述驻点唯一且导数由正变负，所以该值为最大面积. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 辽宁 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知函数 f(x)=x+3x+1f(x) = \frac{x+3}{x+1}（x≠−1x \ne -1）. 设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1 = 1，an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n)，数列 {bn}\{b_n\} 满足 bn=∣an−3∣b_n = |a_n - \sqrt{3}|，Sn=b1+b2+⋯+bnS_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.
(1) 用数学归纳法证明：bn⩽(3−1)n2n−1b_n \leqslant \frac{(\sqrt{3} - 1)^n}{2^{n-1}}； (2) 证明：Sn<233S_n < \frac{2\sqrt{3}}{3}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 记 r=3r=\sqrt3. 由于
an+1=an+3an+1=1+2an+1a_{n+1}=\frac{a_n+3}{a_n+1}=1+\frac2{a_n+1}
且 a1=1a_1=1，可归纳得到 an⩾1a_n\geqslant1 对一切正整数 nn 成立. 另外， an+1−r=(1−r)(an−r)an+1a_{n+1}-r=\dfrac{(1-r)(a_n-r)}{a_n+1}， 所以
bn+1=r−1an+1bn⩽r−12bn<12bnb_{n+1}=\frac{r-1}{a_n+1}b_n\leqslant\frac{r-1}{2}b_n<\frac12b_n
下面用数学归纳法证明 bn⩽(r−1)n2n−1b_n\leqslant\frac{(r-1)^n}{2^{n-1}}. 当 n=1n=1 时，b1=∣1−r∣=r−1b_1=|1-r|=r-1，结论成立. 假设当 n=kn=k 时结论成立，则
bk+1⩽r−12bk⩽r−12⋅(r−1)k2k−1=(r−1)k+12kb_{k+1}\leqslant\frac{r-1}{2}b_k\leqslant\frac{r-1}{2}\cdot\frac{(r-1)^k}{2^{k-1}}=\frac{(r-1)^{k+1}}{2^k}
因此结论对 k+1k+1 也成立，故对一切正整数 nn 成立.
\item 先算得 a2=f(1)=2a_2=f(1)=2. 又因为 f(x)=x+3x+1f(x)=\frac{x+3}{x+1} 在 [53,2][\frac53,2] 上递减，且 f(2)=53f(2)=\frac53，f(53)=74f\left(\frac53\right)=\frac74， 所以由归纳法可得 53⩽an⩽2\frac53\leqslant a_n\leqslant2 对一切 n⩾2n\geqslant2 成立. 对 n⩾2n\geqslant2，有
bn+1=r−1an+1bn⩽3(r−1)8bn<13bnb_{n+1}=\frac{r-1}{a_n+1}b_n\leqslant\frac{3(r-1)}8b_n<\frac13b_n
其中最后一个不等式由 3<179\sqrt3<\frac{17}{9} 得到. 因而 Sn<b1+b2(1+13+132+⋯ )S_n<b_1+b_2\left(1+\frac13+\frac1{3^2}+\cdots\right). 又 b1=r−1b_1=r-1，b2=∣2−r∣=2−rb_2=|2-r|=2-r，所以 Sn<r−1+32(2−r)=2−r2S_n<r-1+\frac32(2-r)=2-\frac r2. 最后，3>127\sqrt3>\frac{12}{7}，从而 2−r2<2r32-\frac r2<\frac{2r}{3}. 故 Sn<233S_n<\frac{2\sqrt3}{3}. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 辽宁 · 第 19 题 · 解答题

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20概率与统计★★★☆☆
某工厂生产甲，乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有 AA，BB 两个等级. 对每种产品，两道工序的加工结果都为 AA 级时，产品为一等品，其余均为二等品.
(1) 已知甲，乙两种产品每一道工序的加工结果为 AA 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲，乙产品为一等品的概率 P甲P_{\text{甲}}，P乙P_{\text{乙}}.
乙0.750.750.80.8
表一 (2) 已知一件产品的利润如表二所示，用 ξ\xi，η\eta 分别表示一件甲，乙产品的利润，在（1）的条件下，求 ξ\xi，η\eta 的分布列及 E(ξ)E(\xi)，E(η)E(\eta).
乙2.5 万元2.5\text{ 万元}1.5 万元1.5\text{ 万元}
表二 (3) 已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示. 该工厂有工人 4040 名，可用资金 6060 万元. 设 xx，yy 分别表示生产甲，乙产品的数量，在（2）的条件下，xx，yy 为何值时，z=xE(ξ)+yE(η)z = xE(\xi) + yE(\eta) 最大？最大值是多少？
乙221010
表三
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 两道工序相互独立，且一等品要求两道工序均为 AA 级，因此 P甲=0.8×0.85=0.68P_{\text{甲}}=0.8\times0.85=0.68，P乙=0.75×0.8=0.6P_{\text{乙}}=0.75\times0.8=0.6.
\item 甲产品一等品的利润为 55 万元，二等品的利润为 2.52.5 万元，所以 P(ξ=5)=0.68P(\xi=5)=0.68，P(ξ=2.5)=1−0.68=0.32P(\xi=2.5)=1-0.68=0.32，E(ξ)=5×0.68+2.5×0.32=4.2E(\xi)=5\times0.68+2.5\times0.32=4.2. 同理，乙产品的分布为 P(η=2.5)=0.6P(\eta=2.5)=0.6，P(η=1.5)=0.4P(\eta=1.5)=0.4，且 E(η)=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1E(\eta)=2.5\times0.6+1.5\times0.4=2.1.
\item 由表三，生产数量 xx，yy 应满足 8x+2y⩽408x+2y\leqslant40，8x+10y⩽608x+10y\leqslant60，x⩾0x\geqslant0，y⩾0y\geqslant0. 目标函数为 z=xE(ξ)+yE(η)=4.2x+2.1yz=xE(\xi)+yE(\eta)=4.2x+2.1y. 因为 xx，yy 表示产品的数量，所以 xx，yy 为非负整数. 由约束条件得 0⩽x⩽50\leqslant x\leqslant5. 对每个可能的 xx，由 y⩽20−4xy\leqslant20-4x，y⩽6−45xy\leqslant6-\frac45x 可取的最大整数 yy 依次为 66，55，44，33，22，00. 由于 zz 关于 yy 的系数 2.1>02.1>0，固定 xx 时应取上述最大值. 又 z=4.2x+2.1y=2.1(2x+y)z=4.2x+2.1y=2.1(2x+y)， 所以 2x+y2x+y 的最大值依次为 66，77，88，99，1010，1010. 因而当 (x,y)=(4,2)(x,y)=(4,2) 或 (5,0)(5,0) 时，zz 取得最大值，最大值为 zmax⁡=2.1×10=21z_{\max}=2.1\times10=21. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 辽宁 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点分别是 F1(−c,0)F_1(-c, 0)，F2(c,0)F_2(c, 0)，QQ 是椭圆外的动点. 满足 ∣F1Q→∣=2a\left|\overrightarrow{F_1Q}\right| = 2a. 点 PP 是线段 F1QF_1Q 与该椭圆的交点，点 TT 在线段 F2QF_2Q 上，并且满足 PT→⋅TF2→=0\overrightarrow{PT} \cdot \overrightarrow{TF_2} = 0，∣F2T→∣≠0\left|\overrightarrow{F_2T}\right| \neq 0.
(1) 设 xx 为点 PP 的横坐标，证明：∣F1P→∣=a+cax\left|\overrightarrow{F_1P}\right| = a + \frac{c}{a}x； (2) 求点 TT 的轨迹 CC 的方程； (3) 试问：在点 TT 的轨迹 CC 上，是否存在点 MM，使 △F1MF2\triangle F_1MF_2 的面积 S=b2S = b^2. 若存在，求 ∠F1MF2\angle F_1MF_2 的正切值；若不存在，请说明理由.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 P=(x,y)P=(x,y). 由椭圆方程及 a2=b2+c2a^2=b^2+c^2，有
∣F1P→∣2=(x+c)2+y2=(x+c)2+b2(1−x2a2)\left|\overrightarrow{F_1P}\right|^2=(x+c)^2+y^2=(x+c)^2+b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)
又因 a2=b2+c2a^2=b^2+c^2，所以
∣F1P→∣2=a2+2cx+c2a2x2=(a+cax)2\left|\overrightarrow{F_1P}\right|^2=a^2+2cx+\frac{c^2}{a^2}x^2=\left(a+\frac ca x\right)^2
椭圆上 −a⩽x⩽a-a\leqslant x\leqslant a，而 a+cax⩾a−c>0a+\frac ca x\geqslant a-c>0，故 ∣F1P→∣=a+cax\left|\overrightarrow{F_1P}\right|=a+\frac ca x.
\item 由椭圆的定义，PF1+PF2=2aPF_1+PF_2=2a. 又题设 F1Q=2aF_1Q=2a，且 PP 在线段 F1QF_1Q 上，所以
PQ=F1Q−F1P=2a−PF1=PF2PQ=F_1Q-F_1P=2a-PF_1=PF_2
若 P≠TP\ne T，则因 ∣F2T→∣≠0\left|\overrightarrow{F_2T}\right|\ne0 且 PT→⋅TF2→=0\overrightarrow{PT}\cdot\overrightarrow{TF_2}=0，有 PT⊥TF2PT\perp TF_2. 在等腰三角形 QPF2QPF_2 中，PTPT 是底边 QF2QF_2 上的高，所以 TT 是 QF2QF_2 的中点. 若 P=TP=T，则 PP 在 QF2QF_2 上，且 PQ=PF2PQ=PF_2，所以 P=TP=T 仍是 QF2QF_2 的中点. 因而无论哪种情形，TT 都是 QF2QF_2 的中点.
设 T=(u,v)T=(u,v)，Q=(X,Y)Q=(X,Y). 因为 TT 是 QF2QF_2 的中点， u=X+c2u=\frac{X+c}{2}，v=Y2v=\frac Y2. 而 F1Q=2aF_1Q=2a 给出 (X+c)2+Y2=4a2(X+c)^2+Y^2=4a^2，于是
u2+v2=(X+c)2+Y24=a2u^2+v^2=\frac{(X+c)^2+Y^2}{4}=a^2
因此点 TT 的轨迹包含在圆 x2+y2=a2x^2+y^2=a^2 上.
反过来，任取圆 u2+v2=a2u^2+v^2=a^2 上的点 T=(u,v)T=(u,v)，令 Q=(2u−c,2v)Q=(2u-c,2v). 则 F1Q=2aF_1Q=2a. 又因为椭圆包含在圆 x2+y2⩽a2x^2+y^2\leqslant a^2 内，且 F1F_1 到该圆内任一点的距离不超过 a+c<2aa+c<2a，所以 QQ 在椭圆外；而 F1F_1 在椭圆内部，故线段 F1QF_1Q 与椭圆相交于一点 PP. 由前面的等式 PQ=PF2PQ=PF_2，三角形 QPF2QPF_2 为等腰三角形，且 TT 是其底边 QF2QF_2 的中点，因此 TT 满足题设条件. 另外，∣F2T∣≠0|F_2T|\ne0，因为 ∣F2∣=c<a=∣OT∣|F_2|=c<a=|OT|. 所以圆上每一点都能取得，轨迹方程为 C: x2+y2=a2C:\ x^2+y^2=a^2.
\item 设 M=(x0,y0)M=(x_0,y_0) 在轨迹 CC 上. 三角形 F1MF2F_1MF_2 的底边为 2c2c，故 S=12⋅2c⋅∣y0∣=c∣y0∣S=\frac12\cdot2c\cdot|y_0|=c|y_0|. 条件 S=b2S=b^2 等价于 ∣y0∣=b2c|y_0|=\frac{b^2}{c}. 因为 M∈CM\in C 时 ∣y0∣⩽a|y_0|\leqslant a，所以存在这样的点 MM 的充要条件是 a⩾b2ca\geqslant\frac{b^2}{c}. 若 a<b2ca<\frac{b^2}{c}，则圆 CC 上任意点的三角形面积都小于 b2b^2，不存在这样的点 MM. 当 a⩾b2ca\geqslant\frac{b^2}{c} 时，取圆 CC 上满足 ∣y0∣=b2c|y_0|=\frac{b^2}{c} 的点 MM，下面求其角度.
MF1→⋅MF2→=(−c−x0,−y0)⋅(c−x0,−y0)=x02+y02−c2=a2−c2=b2\overrightarrow{MF_1}\cdot\overrightarrow{MF_2} =(-c-x_0,-y_0)\cdot(c-x_0,-y_0) =x_0^2+y_0^2-c^2 =a^2-c^2=b^2
另一方面，MF1→\overrightarrow{MF_1} 与 MF2→\overrightarrow{MF_2} 的夹角就是 ∠F1MF2\angle F_1MF_2，所以
tan⁡∠F1MF2=2SMF1→⋅MF2→=2b2b2=2\tan\angle F_1MF_2 =\frac{2S}{\overrightarrow{MF_1}\cdot\overrightarrow{MF_2}} =\frac{2b^2}{b^2}=2
\end{enumerate} \end{solution}

2005 · 辽宁 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
函数 y=f(x)y = f(x) 在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 内可导，导函数 f′(x)f'(x) 是减函数，且 f′(x)>0f'(x) > 0. 设 x0∈(0,+∞)x_0 \in (0, +\infty)，y=kx+my = kx + m 是曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) 处的切线方程，并设函数 g(x)=kx+mg(x) = kx + m.
(1) 用 x0x_0，f(x0)f(x_0)，f′(x0)f'(x_0) 表示 mm； (2) 证明：当 x0∈(0,+∞)x_0 \in (0, +\infty)，g(x)⩾f(x)g(x) \geqslant f(x)； (3) 若关于 xx 的不等式 x2+1⩾ax+b⩾32x23x^{2} + 1 \geqslant ax + b \geqslant \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} 在 [0,+∞)[0, +\infty) 上恒成立. 其中 aa，bb 为实数，求 bb 的取值范围及 aa 与 bb 所满足的关系.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 切线斜率为 k=f′(x0)k=f'(x_0)，又切线经过 (x0,f(x0))(x_0,f(x_0))，所以 f(x0)=kx0+m=f′(x0)x0+mf(x_0)=kx_0+m=f'(x_0)x_0+m， 从而 m=f(x0)−x0f′(x0)m=f(x_0)-x_0f'(x_0).
\item 当 x>x0x>x_0 时，由拉格朗日中值定理，存在 ξ∈(x0,x)\xi\in(x_0,x)，使得 f(x)−f(x0)=f′(ξ)(x−x0)f(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0). 由于 f′f' 是减函数，f′(ξ)⩽f′(x0)f'(\xi)\leqslant f'(x_0)，故 f(x)−f(x0)⩽f′(x0)(x−x0)=g(x)−f(x0)f(x)-f(x_0)\leqslant f'(x_0)(x-x_0)=g(x)-f(x_0). 于是 f(x)⩽g(x)f(x)\leqslant g(x). 当 0<x<x00<x<x_0 时，仍由中值定理存在 ξ∈(x,x0)\xi\in(x,x_0)，且 f′(ξ)⩾f′(x0)f'(\xi)\geqslant f'(x_0). 因为 x−x0<0x-x_0<0，所以 f(x)−f(x0)=f′(ξ)(x−x0)⩽f′(x0)(x−x0)=g(x)−f(x0)f(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0)\leqslant f'(x_0)(x-x_0)=g(x)-f(x_0). 因此对任意 x>0x>0，都有 g(x)⩾f(x)g(x)\geqslant f(x).
\item 要使下方不等式对所有 x⩾0x\geqslant0 成立，先注意到 aa 必须为正数；否则当 x→+∞x\to+\infty 时，ax+bax+b 不可能始终不小于 32x23\frac32x^{\frac{2}{3}}. 由 x=0x=0 处的下方不等式还知 b⩾0b\geqslant0. 对函数 h(x)=32x23h(x)=\frac32x^{\frac{2}{3}}（x>0x>0），有 h′(x)=x−13h'(x)=x^{-\frac{1}{3}}，h′′(x)=−13x−43<0h''(x)=-\frac13x^{-\frac{4}{3}}<0，所以 h′(x)h'(x) 是减函数. 斜率为 a>0a>0 的切线接触点满足 x0−13=ax_0^{-\frac{1}{3}}=a，即 x0=a−3x_0=a^{-3}，该切线的截距为
h(x0)−ax0=32a−2−a⋅a−3=12a2h(x_0)-ax_0=\frac32a^{-2}-a\cdot a^{-3}=\frac1{2a^2}
由第（2）问，切线在曲线 y=h(x)y=h(x) 的上方；反过来，函数 h(x)−axh(x)-ax 在 x>0x>0 上的导数为 x−13−ax^{-\frac{1}{3}}-a，先正后负，故其最大值也在 x=a−3x=a^{-3} 处取得；并且在 x=0x=0 处该函数值为 00. 所以 ax+b⩾32x23ax+b\geqslant\frac32x^{\frac{2}{3}}（x⩾0x\geqslant0）当且仅当 b⩾12a2b\geqslant\frac1{2a^2}.
上方不等式等价于 x2−ax+1−b⩾0x^2-ax+1-b\geqslant0（x⩾0x\geqslant0）. 由 x=0x=0 处的上方不等式得 b⩽1b\leqslant1. 因为 a>0a>0，左侧二次函数在非负半轴上的最小值出现在 x=a2x=\frac a2，所以这又等价于 1−b−a24⩾01-b-\frac{a^2}{4}\geqslant0，即 a⩽21−ba\leqslant2\sqrt{1-b}. 综合两侧条件，得到 12b⩽a⩽21−b\frac1{\sqrt{2b}}\leqslant a\leqslant2\sqrt{1-b}. 要使这个区间非空，必须且只需 12b⩽21−b⟺8b(1−b)⩾1\frac1{\sqrt{2b}}\leqslant2\sqrt{1-b}\Longleftrightarrow 8b(1-b)\geqslant1， 即 2−24⩽b⩽2+24\frac{2-\sqrt2}{4}\leqslant b\leqslant\frac{2+\sqrt2}{4}. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 辽宁 · 第 22 题 · 解答题

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