某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 设三棱锥顶点为 $P$，底面为 $\triangle ABC$，由三视图可还原出 $PC\perp$ 平面 $ABC$，且 $PC=1$. 设 $D$ 是 $AB$ 的中点，则 $AB=2$、$AD=BD=1$、$CD=2$，且 $CD\perp AB$. 因而 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times2\times2=2$，$AC=BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$. 又因为 $PC\perp$ 平面 $ABC$，所以 $PC\perp AC$、$PC\perp BC$，从而 在直角三角形 $PCD$ 中，$PD=\sqrt{PC^2+CD^2}=\sqrt5$. 又 $AB\perp PC$、$AB\perp CD$，而 $PC$、$CD$ 是平面 $PCD$ 内相交的两条直线，所以 $AB\perp$ 平面 $PCD$，从而 $PD\perp AB$. 因此 $S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}\times2\times\sqrt5=\sqrt5$. 三棱锥的表面积为 $2+\sqrt5+\frac{\sqrt5}{2}+\frac{\sqrt5}{2}=2+2\sqrt5$，故选 C. \end{solution}

设 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 设等差数列的公差为 $d$，则 $a_2=a_1+d$、$a_3=a_1+2d$.

选项 A 不成立，例如取 $a_1=1$、$d=-\frac{3}{2}$，则 $a_1+a_2=\frac{1}{2}>0$，但 $a_2+a_3=-\frac{5}{2}<0$. 选项 B 不成立，例如取 $a_1=1$、$d=-\frac{6}{5}$，则 $a_1+a_3=-\frac{2}{5}<0$，但 $a_1+a_2=\frac{4}{5}>0$.

若 $0<a_1<a_2$，则 $d>0$，且 由于 $a_1a_3>0$，故 $a_2>\sqrt{a_1a_3}$，选项 C 正确. 对于选项 D，有 $(a_2-a_1)(a_2-a_3)=d(-d)=-d^2\leqslant0$，不可能大于零，故选 C. \end{solution}

如图，函数 $f(x)$ 的图象为折线 $ACB$，则不等式 $f(x) \geqslant \log_2(x + 1)$ 的解集是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 由图可知，折线 $ACB$ 的端点横坐标为 $-1$、$2$，且 $C=(0,2)$. 当 $-1<x\leqslant0$ 时，$f(x)=2x+2=2(x+1)>0$，而 $0<x+1\leqslant1$ 时 $\log_2(x+1)\leqslant0$，所以不等式成立.

当 $0\leqslant x\leqslant1$ 时，$f(x)=2-x\geqslant1$，且 $1\leqslant x+1\leqslant2$，故 $\log_2(x+1)\leqslant1$，不等式仍成立. 当 $1<x\leqslant2$ 时，$f(x)=2-x<1$，而 $\log_2(x+1)>1$，不等式不成立. 另外，$x=-1$ 不在对数函数定义域内，因此解集为 $\{x\mid-1<x\leqslant1\}$，故选 C. \end{solution}

汽车的“燃油效率”，是指汽车每消耗$1\text{ 升}$汽油行驶的里程，下图描述了甲，乙，丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 燃油效率越大，在相同路程下消耗的汽油越少. 由图可知，乙车的燃油效率最大值超过 $5\text{ 千米/升}$，故 A 错；在相同速度和路程下，甲车的燃油效率高于丙车，故甲车不可能消耗汽油最多，B 错；甲车以 $80\text{ 千米/小时}$ 行驶 $1$ 小时的路程为 $80\text{ 千米}$，图中该速度下燃油效率为 $10\text{ 千米/升}$，所以消耗汽油 $80\div10=8\text{ 升}$，C 错.

在不超过 $80\text{ 千米/小时}$ 的速度范围内，图中丙车的燃油效率不低于乙车，因此相同条件下丙车消耗的汽油不多于乙车，故 D 正确. \end{solution}

在 $\triangle ABC$ 中，$a = 4$，$b = 5$，$c = 6$，则 $\frac{\sin 2A}{\sin C} =$______.

\begin{answer} 1 \end{answer}

\begin{solution} 由正弦定理，$\dfrac{\sin A}{\sin C}=\dfrac{a}{c}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$. 由余弦定理， 所以 $\dfrac{\sin2A}{\sin C}=2\cos A\dfrac{\sin A}{\sin C}=2\times\dfrac34\times\dfrac23=1$. \end{solution}

$A$，$B$ 两组各有 $7$ 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：

$A$ 组：$10$，$11$，$12$，$13$，$14$，$15$，$16$；

$B$ 组：$12$，$13$，$15$，$16$，$17$，$14$，$a$.

假设所有病人的康复时间相互独立，从 $A$，$B$ 两组随机各选 $1$ 人，$A$ 组选出的人记为甲，$B$ 组选出的人记为乙.

(1) 求甲的康复时间不少于 $14$ 天的概率； (2) 如果 $a=25$，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (3) 当 $a$ 为何值时，$A$，$B$ 两组病人康复时间的方差相等？