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01复数★☆☆☆☆
复数 i(2−i)=\mathrm{i}(2 - \mathrm{i}) =（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由复数的乘法及 i2=−1\mathrm{i}^2=-1，得 i(2−i)=2i−i2=1+2i\mathrm{i}(2-\mathrm{i})=2\mathrm{i}-\mathrm{i}^2=1+2\mathrm{i}，所以选 A. \end{solution}
A.
1+2i1 + 2\mathrm{i}
B.
1−2i1 - 2\mathrm{i}
C.
−1+2i-1 + 2\mathrm{i}
D.
−1−2i-1 - 2\mathrm{i}

2015 · 北京 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足
{x−y⩽0,x+y⩽1,x⩾0,\begin{cases} x - y \leqslant 0,\\ x + y \leqslant 1,\\ x \geqslant 0, \end{cases}
则 z=x+2yz = x + 2y 最大值为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由 x−y⩽0x-y\leqslant0、x+y⩽1x+y\leqslant1 和 x⩾0x\geqslant0，可知可行域的顶点为 (0,0)(0,0)、(0,1)(0,1)、(12,12)\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right). 目标函数 z=x+2yz=x+2y 在这些顶点处的值分别为 00、22、32\frac{3}{2}，故最大值为 22，所以选 D. \end{solution}
A.
00
B.
11
C.
32\frac{3}{2}
D.
22

2015 · 北京 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 初始时 (x,y,k)=(1,1,0)(x,y,k)=(1,1,0). 每循环一次先计算 s=x−ys=x-y、t=x+yt=x+y，再令 x=sx=s、y=ty=t，并使 kk 增加 11. 因而各次循环后的状态为 (x,y,k)=(0,2,1)(x,y,k)=(0,2,1)，(−2,2,2)(-2,2,2)，(−4,0,3)(-4,0,3). 此时满足 k⩾3k\geqslant3，输出 (−4,0)(-4,0)，所以选 B. \end{solution}
A.
(−2,2)(-2, 2)
B.
(−4,0)(-4,0)
C.
(−4,−4)(-4, -4)
D.
(0,8)(0, 8)

2015 · 北京 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
设 α\alpha，β\beta 是两个不同的平面，mm 是直线且 m⊂αm \subset \alpha，m∥βm \parallel \beta 是“α∥β\alpha \parallel \beta”的（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 若 α∥β\alpha\parallel\beta，则 α\alpha 内任意直线都与平面 β\beta 平行，因此 α∥β\alpha\parallel\beta 能推出 m∥βm\parallel\beta，所以前者是后者的必要条件.
反之，若 α\alpha 与 β\beta 相交，取 mm 为 α\alpha 内平行于交线 α∩β\alpha\cap\beta 的直线，则 m∥βm\parallel\beta，但 α\alpha 不平行于 β\beta. 因此该条件不是充分条件，故选 B. \end{solution}
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2015 · 北京 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设三棱锥顶点为 PP，底面为 △ABC\triangle ABC，由三视图可还原出 PC⊥PC\perp 平面 ABCABC，且 PC=1PC=1. 设 DD 是 ABAB 的中点，则 AB=2AB=2、AD=BD=1AD=BD=1、CD=2CD=2，且 CD⊥ABCD\perp AB. 因而 S△ABC=12×2×2=2S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times2\times2=2，AC=BC=12+22=5AC=BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5. 又因为 PC⊥PC\perp 平面 ABCABC，所以 PC⊥ACPC\perp AC、PC⊥BCPC\perp BC，从而
S△PAC=S△PBC=12×1×5=52S_{\triangle PAC}=S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}\times1\times\sqrt5=\frac{\sqrt5}{2}
在直角三角形 PCDPCD 中，PD=PC2+CD2=5PD=\sqrt{PC^2+CD^2}=\sqrt5. 又 AB⊥PCAB\perp PC、AB⊥CDAB\perp CD，而 PCPC、CDCD 是平面 PCDPCD 内相交的两条直线，所以 AB⊥AB\perp 平面 PCDPCD，从而 PD⊥ABPD\perp AB. 因此 S△PAB=12×2×5=5S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}\times2\times\sqrt5=\sqrt5. 三棱锥的表面积为 2+5+52+52=2+252+\sqrt5+\frac{\sqrt5}{2}+\frac{\sqrt5}{2}=2+2\sqrt5，故选 C. \end{solution}
A.
2+52 + \sqrt{5}
B.
4+54 + \sqrt{5}
C.
2+252 + 2\sqrt{5}
D.
55

2015 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设等差数列的公差为 dd，则 a2=a1+da_2=a_1+d、a3=a1+2da_3=a_1+2d.
选项 A 不成立，例如取 a1=1a_1=1、d=−32d=-\frac{3}{2}，则 a1+a2=12>0a_1+a_2=\frac{1}{2}>0，但 a2+a3=−52<0a_2+a_3=-\frac{5}{2}<0. 选项 B 不成立，例如取 a1=1a_1=1、d=−65d=-\frac{6}{5}，则 a1+a3=−25<0a_1+a_3=-\frac{2}{5}<0，但 a1+a2=45>0a_1+a_2=\frac{4}{5}>0.
若 0<a1<a20<a_1<a_2，则 d>0d>0，且
a22−a1a3=(a1+d)2−a1(a1+2d)=d2>0a_2^2-a_1a_3=(a_1+d)^2-a_1(a_1+2d)=d^2>0
由于 a1a3>0a_1a_3>0，故 a2>a1a3a_2>\sqrt{a_1a_3}，选项 C 正确. 对于选项 D，有 (a2−a1)(a2−a3)=d(−d)=−d2⩽0(a_2-a_1)(a_2-a_3)=d(-d)=-d^2\leqslant0，不可能大于零，故选 C. \end{solution}
A.
若 a1+a2>0a_{1} + a_{2} > 0，则 a2+a3>0a_{2} + a_{3} > 0
B.
若 a1+a3<0a_{1} + a_{3} < 0，则 a1+a2<0a_{1} + a_{2} < 0
C.
若 0<a1<a20 < a_{1} < a_{2}，则 a2>a1a3a_{2} > \sqrt{a_{1}a_{3}}
D.
若 a1<0a_{1} < 0，则 (a2−a1)(a2−a3)>0(a_{2} - a_{1})(a_{2} - a_{3}) > 0

2015 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
如图，函数 f(x)f(x) 的图象为折线 ACBACB，则不等式 f(x)⩾log⁡2(x+1)f(x) \geqslant \log_2(x + 1) 的解集是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由图可知，折线 ACBACB 的端点横坐标为 −1-1、22，且 C=(0,2)C=(0,2). 当 −1<x⩽0-1<x\leqslant0 时，f(x)=2x+2=2(x+1)>0f(x)=2x+2=2(x+1)>0，而 0<x+1⩽10<x+1\leqslant1 时 log⁡2(x+1)⩽0\log_2(x+1)\leqslant0，所以不等式成立.
当 0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant1 时，f(x)=2−x⩾1f(x)=2-x\geqslant1，且 1⩽x+1⩽21\leqslant x+1\leqslant2，故 log⁡2(x+1)⩽1\log_2(x+1)\leqslant1，不等式仍成立. 当 1<x⩽21<x\leqslant2 时，f(x)=2−x<1f(x)=2-x<1，而 log⁡2(x+1)>1\log_2(x+1)>1，不等式不成立. 另外，x=−1x=-1 不在对数函数定义域内，因此解集为 {x∣−1<x⩽1}\{x\mid-1<x\leqslant1\}，故选 C. \end{solution}
A.
{x∣−1<x≤0}\{x\mid-1<x\leq0\}
B.
{x∣−1⩽x⩽1}\{x\mid -1\leqslant x\leqslant 1\}
C.
{x∣−1<x⩽1}\{x\mid -1 < x\leqslant 1\}
D.
{x∣−1<x⩽2}\{x\mid -1 < x\leqslant 2\}

2015 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
汽车的“燃油效率”，是指汽车每消耗1 升1\text{ 升}汽油行驶的里程，下图描述了甲，乙，丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 燃油效率越大，在相同路程下消耗的汽油越少. 由图可知，乙车的燃油效率最大值超过 5 千米/升5\text{ 千米/升}，故 A 错；在相同速度和路程下，甲车的燃油效率高于丙车，故甲车不可能消耗汽油最多，B 错；甲车以 80 千米/小时80\text{ 千米/小时} 行驶 11 小时的路程为 80 千米80\text{ 千米}，图中该速度下燃油效率为 10 千米/升10\text{ 千米/升}，所以消耗汽油 80÷10=8 升80\div10=8\text{ 升}，C 错.
在不超过 80 千米/小时80\text{ 千米/小时} 的速度范围内，图中丙车的燃油效率不低于乙车，因此相同条件下丙车消耗的汽油不多于乙车，故 D 正确. \end{solution}
A.
消耗1 升1\text{ 升}汽油，乙车最多可行驶5 千米5\text{ 千米}
B.
以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C.
甲车以80 千米/小时80\text{ 千米/小时}的速度行驶1 小时1\text{ 小时}，消耗10 升10\text{ 升}汽油
D.
某城市机动车最高限速为80 千米/小时80\text{ 千米/小时}. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

2015 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09计数原理与组合数学★☆☆☆☆
在 (2+x)5(2 + x)^5 的展开式中，x3x^3 的系数为______.
\begin{answer} 40 \end{answer}
\begin{solution} 二项式展开式的通项为 C5k25−kxk\mathrm C_5^k2^{5-k}x^k. 令 k=3k=3，得 x3x^3 的系数为 C5322=10×4=40\mathrm C_5^3 2^2=10\times4=40. \end{solution}

2015 · 北京 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10解析几何★☆☆☆☆
已知双曲线 x2a2−y2=1\dfrac{x^2}{a^2}-y^2=1（a>0a>0）的一条渐近线为 3x+y=0\sqrt{3}x+y=0，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} 33\dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{answer}
\begin{solution} 双曲线 x2a2−y2=1\dfrac{x^2}{a^2}-y^2=1 的渐近线为 y=±xay=\pm\dfrac{x}{a}. 已知一条渐近线为 y=−3xy=-\sqrt3x，所以 1a=3\dfrac{1}{a}=\sqrt3. 由 a>0a>0，得 a=33a=\dfrac{\sqrt3}{3}. \end{solution}

2015 · 北京 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，点 (2,π3)\left(2,\dfrac{\pi}{3}\right) 到直线 ρ(cos⁡θ+3sin⁡θ)=6\rho(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)=6 的距离为______.
\begin{answer} 1 \end{answer}
\begin{solution} 极坐标点 (2,π3)\left(2,\dfrac{\pi}{3}\right) 的直角坐标为 (x,y)=(1,3)(x,y)=(1,\sqrt3). 直线方程化为 x+3y=6x+\sqrt3y=6. 因此点到直线的距离为
∣1+3⋅3−6∣1+(3)2=22=1\frac{|1+\sqrt3\cdot\sqrt3-6|}{\sqrt{1+(\sqrt3)^2}}=\frac{2}{2}=1
\end{solution}

2015 · 北京 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，a=4a = 4，b=5b = 5，c=6c = 6，则 sin⁡2Asin⁡C=\frac{\sin 2A}{\sin C} =______.
\begin{answer} 1 \end{answer}
\begin{solution} 由正弦定理，sin⁡Asin⁡C=ac=46=23\dfrac{\sin A}{\sin C}=\dfrac{a}{c}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}. 由余弦定理，
cos⁡A=b2+c2−a22bc=52+62−422×5×6=34\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+6^2-4^2}{2\times5\times6}=\frac{3}{4}
所以 sin⁡2Asin⁡C=2cos⁡Asin⁡Asin⁡C=2×34×23=1\dfrac{\sin2A}{\sin C}=2\cos A\dfrac{\sin A}{\sin C}=2\times\dfrac34\times\dfrac23=1. \end{solution}

2015 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，点 MM，NN 满足 AM→=2MC→\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MC}，BN→=NC→\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{NC}. 若 MN→=xAB→+yAC→\overrightarrow{MN} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}，则 x=x =______；y=y =______.
\begin{answer} x=12x=\dfrac{1}{2}，y=−16y=-\dfrac{1}{6} \end{answer}
\begin{solution} 由 AM→=2MC→\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}，得 AM→=23AC→\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}. 又由 BN→=NC→\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}，得 NN 是 BCBC 的中点. 以 AA 为起点，用 AB→\overrightarrow{AB}、AC→\overrightarrow{AC} 表示位置向量，则 AM→=23AC→\overrightarrow{AM}=\frac23\overrightarrow{AC}，AN→=AB→+12BC→=12AB→+12AC→\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC} =\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC}. 于是
MN→=AN→−AM→=12AB→−16AC→\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM} =\frac12\overrightarrow{AB}-\frac16\overrightarrow{AC}
故 x=12x=\dfrac12，y=−16y=-\dfrac16. \end{solution}

2015 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
函数
f(x)={2x−a,x<1,4(x−a)(x−2a),x⩾1.f(x)=\begin{cases} 2^x-a, & x<1,\\ 4(x-a)(x-2a), & x\geqslant 1. \end{cases}
(1) 若 a=1a=1，则 f(x)f(x) 的最小值为______； (2) 若 f(x)f(x) 恰有 22 个零点，则实数 aa 的取值范围是______.
\begin{answer} −1-1，[12,1)∪[2,+∞)\left[\dfrac{1}{2},1\right)\cup[2,+\infty) \end{answer}
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 a=1a=1 时，x<1x<1 时 f(x)=2x−1f(x)=2^x-1，该函数递增且下界为 −1-1. 当 x⩾1x\geqslant1 时，f(x)=4(x−1)(x−2)f(x)=4(x-1)(x-2)，其顶点为 (32,−1)\left(\frac32,-1\right)，且顶点在定义域内. 所以 f(x)f(x) 的最小值为 −1-1. \item 当 x<1x<1 时，方程 f(x)=0f(x)=0 等价于 2x=a2^x=a，它有一个定义域内的根当且仅当 0<a<20<a<2. 当 x⩾1x\geqslant1 时，方程 f(x)=0f(x)=0 的根为 x=ax=a 和 x=2ax=2a，分别满足定义域条件当且仅当 a⩾1a\geqslant1 和 a⩾12a\geqslant\frac12.
当 a⩽0a\leqslant0 时没有零点；当 0<a<120<a<\frac12 时只有第一个分支的一个零点；当 12⩽a<1\frac12\leqslant a<1 时有第一个分支的一个零点和第二分支的一个零点；当 1⩽a<21\leqslant a<2 时共有三个零点. 当 a⩾2a\geqslant2 时第一个分支没有零点，而第二分支的两个根均在定义域内. 因此恰有两个零点时，a∈[12,1)∪[2,+∞)a\in\left[\frac12,1\right)\cup[2,+\infty). \end{enumerate} \end{solution}

2015 · 北京 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x2cos⁡x2−2sin⁡2x2f(x)=\sqrt{2}\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}-\sqrt{2}\sin^2\dfrac{x}{2}.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 求 f(x)f(x) 在区间 [−π,0]\left[-\pi,0\right] 上的最小值.

2015 · 北京 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
AA，BB 两组各有 77 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
AA 组：1010，1111，1212，1313，1414，1515，1616；
BB 组：1212，1313，1515，1616，1717，1414，aa.
假设所有病人的康复时间相互独立，从 AA，BB 两组随机各选 11 人，AA 组选出的人记为甲，BB 组选出的人记为乙.
(1) 求甲的康复时间不少于 1414 天的概率； (2) 如果 a=25a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (3) 当 aa 为何值时，AA，BB 两组病人康复时间的方差相等？

2015 · 北京 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 A−EFCBA-EFCB 中，△AEF\triangle AEF 为等边三角形，平面 AEF⊥AEF \perp 平面 EFCBEFCB，EF∥BCEF \parallel BC，BC=4BC=4，EF=2aEF=2a，∠EBC=∠FCB=60∘\angle EBC=\angle FCB=60^\circ，OO 为 EFEF 的中点.
(1) 求证：AO⊥BEAO \perp BE； (2) 求二面角 F−AE−BF-AE-B 的余弦值； (3) 若 BE⊥BE \perp 平面 AOCAOC，求 aa 的值.

2015 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡1+x1−xf(x)=\ln\dfrac{1+x}{1-x}.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 求证：当 x∈(0,1)x\in(0,1) 时，f(x)>2(x+x33)f(x)>2\left(x+\dfrac{x^3}{3}\right)； (3) 设实数 kk 使得 f(x)>k(x+x33)f(x)>k\left(x+\dfrac{x^3}{3}\right) 对 x∈(0,1)x\in(0,1) 恒成立，求 kk 的最大值.

2015 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}，点 P(0,1)P(0,1) 和点 A(m,n)A(m,n)（m≠0m\neq 0）都在椭圆 CC 上，直线 PAPA 交 xx 轴于点 MM.
(1) 求椭圆 CC 的方程，并求点 MM 的坐标（用 mm，nn 表示）； (2) 设 OO 为原点，点 BB 与点 AA 关于 xx 轴对称，直线 PBPB 交 xx 轴于点 NN. 问：yy 轴上是否存在点 QQ，使得 ∠OQM=∠ONQ\angle OQM=\angle ONQ？若存在，求点 QQ 的坐标；若不存在，说明理由.

2015 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 满足：a1∈N∗a_1\in\mathbf{N}^*，a1⩽36a_1\leqslant 36，且
an+1={2an,an⩽18,2an−36,an>18,a_{n+1}=\begin{cases} 2a_n, & a_n\leqslant 18,\\ 2a_n-36, & a_n>18, \end{cases}
（n=1n=1，22，⋯\cdots）. 记集合 M={an∣n∈N∗}M=\{a_n\mid n\in\mathbf{N}^*\}.
(1) 若 a1=6a_1=6，写出集合 MM 的所有元素； (2) 若集合 MM 存在一个元素是 33 的倍数，证明：MM 的所有元素都是 33 的倍数； (3) 求集合 MM 的元素个数的最大值.

2015 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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