若过两点 $A(-1,0)$，$B(0,2)$ 的直线 $l$ 与圆 $(x-1)^{2}+(y-a)^{2}=1$ 相切，则 $a=$______.

若正三棱锥底面边长为 $4$，体积为 $1$，则侧面和底面所成二面角的大小等于______（结果用反三角函数值表示）.

若函数 $y = x^{2} + (a + 2)x + 3$，$x \in [a,b]$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，则 $b =$______.

设 $f(x) = \frac{1}{2^{x} + \sqrt{2}}$，利用课本中推导等差数列前 $n$ 项和公式的方法，可求得 $f(-5) + f(-4) + \cdots + f(0) + \cdots + f(5) + f(6)$ 的值为______.

已知三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$，在某个空间直角坐标系中，，$\overrightarrow{AC}=\left\{m,0,0\right\}$，$\overrightarrow{AA_1}=\left\{0,0,n\right\}$，其中 $m$，$n>0$.

(1) 证明：三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 是正三棱柱； (2) 若 $m = \sqrt{2}n$，求直线 $CA_{1}$ 与平面 $A_{1}ABB_{1}$ 所成角的大小.

设 $F_{1}$，$F_{2}$ 分别为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的左、右两个焦点.

(1) 若椭圆 $C$ 上的点 $A\left(1,\frac{3}{2}\right)$ 到 $F_{1}$，$F_{2}$ 两点的距离之和等于 $4$，写出椭圆 $C$ 的方程； (2) 设 $K$ 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段 $F_{1}K$ 的中点的轨迹方程； (3) 已知椭圆具有性质：若 $M$，$N$ 是椭圆 $C$ 上关于原点对称的两个点，点 $P$ 是椭圆上任意一点，当直线 $PM$，$PN$ 的斜率都存在，并记为 $k_{PM}$，$k_{PN}$ 时，那么 $k_{PM}$ 与 $k_{PN}$ 之积是与点 $P$ 位置无关的定值. 试对双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 写出具有类似特性的性质，并加以证明.