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01函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)=x+1f(x) = \sqrt{x} + 1，则 f−1(3)=f^{-1}(3) =______.

2003 · 上海 · 春季 · 第 1 题 · 填空题

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02解析几何★★☆☆☆
直线 y=1y = 1 与直线 y=3x+3y = \sqrt{3}x + 3 的夹角为______.

2003 · 上海 · 春季 · 第 2 题 · 填空题

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03三角函数★☆☆☆☆
已知点 P(tan⁡α,cos⁡α)P(\tan \alpha,\cos \alpha) 在第三象限，则角 α\alpha 的终边在第______象限.

2003 · 上海 · 春季 · 第 3 题 · 填空题

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04解析几何★★☆☆☆
直线 y=x−1y = x - 1 被抛物线 y2=4xy^{2} = 4x 截得线段的中点坐标是______.

2003 · 上海 · 春季 · 第 4 题 · 填空题

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05集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣∣x∣⩽2, x∈R}A = \{x \mid |x| \leqslant 2,\ x \in \mathbf{R}\}，B={x∣x⩾a}B = \{x \mid x \geqslant a\}，且 A⊆BA \subseteq B，则实数 aa 的取值范围是______.

2003 · 上海 · 春季 · 第 5 题 · 填空题

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06复数★★☆☆☆
已知 zz 为复数，则 z+z‾>2z + \overline{z} > 2 的一个充要条件是 zz 满足______.

2003 · 上海 · 春季 · 第 6 题 · 填空题

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07解析几何★★★☆☆
若过两点 A(−1,0)A(-1,0)，B(0,2)B(0,2) 的直线 ll 与圆 (x−1)2+(y−a)2=1(x-1)^{2}+(y-a)^{2}=1 相切，则 a=a=______.

2003 · 上海 · 春季 · 第 7 题 · 填空题

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
不等式 (lg⁡20)2cos⁡x>1(\lg 20)^{2\cos x} > 1（x∈(0,π)x \in (0,\pi)）的解为______.

2003 · 上海 · 春季 · 第 8 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
88 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各 44 人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第三、四名，则该大师赛共有______场\text{场}比赛.

2003 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

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10立体几何初步★★★☆☆
若正三棱锥底面边长为 44，体积为 11，则侧面和底面所成二面角的大小等于______（结果用反三角函数值表示）.

2003 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★☆☆
若函数 y=x2+(a+2)x+3y = x^{2} + (a + 2)x + 3，x∈[a,b]x \in [a,b] 的图象关于直线 x=1x = 1 对称，则 b=b =______.

2003 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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12指数函数与对数函数★★★☆☆
设 f(x)=12x+2f(x) = \frac{1}{2^{x} + \sqrt{2}}，利用课本中推导等差数列前 nn 项和公式的方法，可求得 f(−5)+f(−4)+⋯+f(0)+⋯+f(5)+f(6)f(-5) + f(-4) + \cdots + f(0) + \cdots + f(5) + f(6) 的值为______.

2003 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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13立体几何初步★★☆☆☆
关于直线aa，bb，ll 以及平面 MM，NN，下列命题中正确的是（ ）
A.
若 a∥M, b∥Ma \parallel M,\ b \parallel M，则 a∥ba \parallel b
B.
若 a∥Ma \parallel M，b⊥ab \perp a，则 b⊥Mb \perp M
C.
若 a⊂Ma \subset M，b⊂Mb \subset M，且 l⊥al \perp a，l⊥bl \perp b，则 l⊥Ml \perp M
D.
若 a⊥Ma \perp M，a∥Na \parallel N，则 M⊥NM \perp N

2003 · 上海 · 春季 · 第 13 题 · 选择题

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14复数★★☆☆☆
复数 z=m−2i1+2iz = \frac{m - 2\mathrm{i}}{1 + 2\mathrm{i}}（m∈Rm \in \mathbf{R}，i\mathrm{i} 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2003 · 上海 · 春季 · 第 14 题 · 选择题

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15三角函数★★☆☆☆
把曲线ycos⁡x+2y−1=0y \cos x + 2y - 1 = 0 先沿 xx 轴向右平移 π2\frac{\pi}{2} 个单位，再沿 yy 轴向下平移一个单位，得到的曲线方程是（ ）
A.
(1−y)sin⁡x+2y−3=0(1 - y)\sin x + 2y - 3 = 0
B.
(y−1)sin⁡x+2y−3=0(y - 1)\sin x + 2y - 3 = 0
C.
(y+1)sin⁡x+2y+1=0(y + 1)\sin x + 2y + 1 = 0
D.
−(y+1)sin⁡x+2y+1=0-(y + 1)\sin x + 2y + 1 = 0

2003 · 上海 · 春季 · 第 15 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★★☆
关于函数 f(x)=(sin⁡x)2−(23)∣x∣+12f(x) = (\sin x)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^{|x|} + \frac{1}{2}，有下面四个结论：
① f(x)f(x) 是奇函数； ② 当 x>2003x > 2003 时，f(x)>12f(x) > \frac{1}{2} 恒成立； ③ f(x)f(x) 的最大值是 32\frac{3}{2}； ④ f(x)f(x) 的最小值是 −12-\frac{1}{2}.
其中正确结论的个数为（ ）
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
44 个

2003 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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17不等式★★☆☆☆
解不等式组：
{x2−6x+8>0,x+3x−1>2.\begin{cases} x^{2} - 6x + 8 > 0,\\ \dfrac{x + 3}{x - 1} > 2. \end{cases}

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18三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f(x) = A \sin (\omega x + \varphi)，（A>0A > 0，ω>0\omega > 0，x∈Rx \in \mathbf{R}）在一个周期内的图象如图所示，求直线 y=3y = \sqrt{3} 与函数 f(x)f(x) 图象的所有交点的坐标.

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19立体几何初步★★★☆☆
已知三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1}，在某个空间直角坐标系中，
AB→=(m2,−3m2,0)\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} \frac{m}{2},\\ -\frac{\sqrt{3}m}{2},\\ 0 \end{pmatrix}
，AC→={m,0,0}\overrightarrow{AC}=\left\{m,0,0\right\}，AA1→={0,0,n}\overrightarrow{AA_1}=\left\{0,0,n\right\}，其中 mm，n>0n>0.
(1) 证明：三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 是正三棱柱； (2) 若 m=2nm = \sqrt{2}n，求直线 CA1CA_{1} 与平面 A1ABB1A_{1}ABB_{1} 所成角的大小.

2003 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=x13−x−135f(x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} - x^{-\frac{1}{3}}}{5}，g(x)=x13+x−135g(x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} + x^{-\frac{1}{3}}}{5}.
(1) 证明 f(x)f(x) 是奇函数，并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 分别计算 f(4)−5f(2)g(2)f(4) - 5f(2)g(2) 和 f(9)−5f(3)g(3)f(9) - 5f(3)g(3) 的值，由此概括出涉及函数 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 的对所有不等于零的实数 xx 都成立的一个等式，并加以证明.

2003 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
设 F1F_{1}，F2F_{2} 分别为椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的左、右两个焦点.
(1) 若椭圆 CC 上的点 A(1,32)A\left(1,\frac{3}{2}\right) 到 F1F_{1}，F2F_{2} 两点的距离之和等于 44，写出椭圆 CC 的方程； (2) 设 KK 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段 F1KF_{1}K 的中点的轨迹方程； (3) 已知椭圆具有性质：若 MM，NN 是椭圆 CC 上关于原点对称的两个点，点 PP 是椭圆上任意一点，当直线 PMPM，PNPN 的斜率都存在，并记为 kPMk_{PM}，kPNk_{PN} 时，那么 kPMk_{PM} 与 kPNk_{PN} 之积是与点 PP 位置无关的定值. 试对双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 写出具有类似特性的性质，并加以证明.

2003 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
在一次人才招聘会上，有 A、B 两家公司分别开出了它们的工资标准：A 公司允诺第一个月工资为 1500 元1500\text{ 元}，以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元230\text{ 元}；B 公司允诺第一年月工资数为 2000 元2000\text{ 元}，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增 5%5\%，设某人年初被 A、B 两家公司同时录取. 试问：
(1) 若该人分别在 AA 公司或 BB 公司连续工作 n 年n\text{ 年}，则他在第 n 年n\text{ 年}的月工资收入分别是多少？ (2) 该人打算连续在一家公司工作 10 年10\text{ 年}，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不记其它因素），该人应该选择哪家公司，为什么？ (3) 在 AA 公司工作比在 BB 公司工作的月工资收入最多可以多多少元？（精确到 11 元），并说明理由.

2003 · 上海 · 春季 · 第 22 题 · 解答题

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