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07函数与初等函数★★★☆☆
设函数
D(x)={1,x 为有理数,0,x 为无理数,D(x) = \begin{cases} 1, & x\text{ 为有理数},\\ 0, & x\text{ 为无理数}, \end{cases}
则下列结论错误的是（ ）
A.
D(x)D(x) 的值域为 {0,1}\{0,1\}
B.
D(x)D(x) 是偶函数
C.
D(x)D(x) 不是周期函数
D.
D(x)D(x) 不是单调函数

2012 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
已知双曲线 x24−y2b2=1\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 的右焦点与抛物线 y2=12xy^{2} = 12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
A.
5\sqrt{5}
B.
424\sqrt{2}
C.
3
D.
5

2012 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09指数函数与对数函数★★★☆☆
若函数 y=2xy = 2^{x} 图象上存在点 (x,y)(x,y) 满足约束条件
{x+y−3⩽0,x−2y−3⩽0,x⩾m,\begin{cases} x + y - 3 \leqslant 0,\\ x - 2y - 3 \leqslant 0,\\ x \geqslant m, \end{cases}
则实数 mm 的最大值为（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
1
C.
32\frac{3}{2}
D.
2

2012 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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16概率与统计★★★☆☆
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关. 某轿车制造厂生产甲，乙两种品牌轿车，保修期均为 22 年. 现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 5050 辆，统计数据如下：
\begin{array}{c} \hline 品牌 & \multicolumn{3}{c|}{甲} & \multicolumn{2}{c|}{乙} \\ \hline 首次出现故障的时间 $x$（$\text{年}$） & $0 < x \leqslant 1$ & $1 < x \leqslant 2$ & $x > 2$ & $0 < x \leqslant 2$ & $x > 2$ \\ \hline 轿车数量（$\text{辆}$） & 2 & 3 & 45 & 5 & 45 \\ \hline 每辆利润（$\text{万元}$） & 1 & 2 & 3 & 1.8 & 2.9 \\ \hline \end{array}
将频率视为概率，解答下列问题：
(1) 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； (2) 若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1X_{1}，生产一辆乙品牌轿车的利润为 X2X_{2}，分别求 X1X_{1}，X2X_{2} 的分布列； (3) 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的新车. 若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？请说明理由.

2012 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
① sin⁡213∘+cos⁡217∘−sin⁡13∘cos⁡17∘\sin^{2}13^{\circ} + \cos^{2}17^{\circ} - \sin13^{\circ}\cos17^{\circ}； ② sin⁡215∘+cos⁡215∘−sin⁡15∘cos⁡15∘\sin^{2}15^{\circ} + \cos^{2}15^{\circ} - \sin15^{\circ}\cos15^{\circ}； ③ sin⁡218∘+cos⁡212∘−sin⁡18∘cos⁡12∘\sin^{2}18^{\circ} + \cos^{2}12^{\circ} - \sin18^{\circ}\cos12^{\circ}； ④ sin⁡2(−18∘)+cos⁡248∘−sin⁡(−18∘)cos⁡48∘\sin^{2}(-18^{\circ}) + \cos^{2}48^{\circ} - \sin(-18^{\circ})\cos48^{\circ}； ⑤ sin⁡2(−25∘)+cos⁡255∘−sin⁡(−25∘)cos⁡55∘\sin^{2}(-25^{\circ}) + \cos^{2}55^{\circ} - \sin(-25^{\circ})\cos55^{\circ}.
(1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

2012 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AA1=AD=1AA_{1} = AD = 1，EE 为 CDCD 的中点.
(1) 求证：B1E⊥AD1B_{1}E \perp AD_{1}； (2) 在棱 AA1AA_{1} 上是否存在一点 PP，使得 DP∥DP \parallel 平面 B1AEB_{1}AE？若存在，求 APAP 的长；若不存在，请说明理由； (3) 若二面角 A−B1E−A1A-B_{1}E-A_{1} 的大小为 30∘30^{\circ}，求 ABAB 的长.

2012 · 福建 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系中，以坐标原点 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 ll 上两点 MM，NN 的极坐标分别为 (2,0)(2,0)，(233,π2)\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{\pi}{2}\right)，圆 CC 的参数方程为
{x=2+2cos⁡θ,y=−3+2sin⁡θ,\begin{cases} x = 2 + 2\cos\theta,\\ y = -\sqrt{3} + 2\sin\theta, \end{cases}
（θ\theta 为参数）.
(1) 设 PP 为线段 MNMN 的中点，求直线 OPOP 的平面直角坐标方程； (2) 判断直线 ll 与圆 CC 的位置关系.

2012 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=m−∣x−2∣f(x) = m - |x - 2|，m∈Rm \in \mathbf{R}. 且 f(x+2)⩾0f(x + 2) \geqslant 0 的解集为 [−1,1][-1,1].
(1) 求 mm 的值； (2) 若 aa，bb，c∈R+c \in \mathbf{R}^{+}，且 1a+12b+13c=m\frac{1}{a} + \frac{1}{2b} + \frac{1}{3c} = m，求证：a+2b+3c⩾9a + 2b + 3c \geqslant 9.

2012 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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