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01复数★☆☆☆☆
若复数 zz 满足 zi=1−iz\mathrm{i} = 1 - \mathrm{i}，则 zz 等于（ ）
A.
−1−i-1 - \mathrm{i}
B.
1−i1 - \mathrm{i}
C.
−1+i-1 + \mathrm{i}
D.
1+i1 + \mathrm{i}

2012 · 福建 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02数列★☆☆☆☆
等差数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1+a5=10a_{1} + a_{5} = 10，a4=7a_{4} = 7，则数列 {an}\{a_{n}\} 的公差为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2012 · 福建 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
下列命题中，真命题是（ ）
① ∃x0∈R\exists x_{0} \in \mathbf{R}，ex0⩽0\mathrm{e}^{x_{0}} \leqslant 0； ② ∀x∈R\forall x \in \mathbf{R}，2x>x22^{x} > x^{2}； ③ a+b=0a + b = 0 的充要条件是 ab=−1\frac{a}{b} = -1； ④ a>1a > 1，b>1b > 1 是 ab>1ab > 1 的充分条件.
A.
\circled1\circled2\circled{1}\circled{2}
B.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}
C.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
D.
\circled3\circled4\circled{3}\circled{4}

2012 · 福建 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）
A.
球
B.
三棱锥
C.
正方体
D.
圆柱

2012 · 福建 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05不等式★★☆☆☆
下列不等式一定成立的是（ ）
A.
lg⁡(x2+14)>lg⁡x\lg\left(x^{2}+\frac{1}{4}\right) > \lg x（x>0x > 0）
B.
sin⁡x+1sin⁡x⩾2\sin x + \frac{1}{\sin x} \geqslant 2（x≠kπx \neq k\pi，k∈Zk \in \mathbf{Z}）
C.
x2+1⩾2∣x∣x^{2} + 1 \geqslant 2|x|（x∈Rx \in \mathbf{R}）
D.
1x2+1>1\frac{1}{x^{2} + 1} > 1（x∈Rx \in \mathbf{R}）

2012 · 福建 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06概率与统计★★☆☆☆
如图所示，在边长为 11 的正方形 OABCOABC 中任取一点 PP，则点 PP 恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
15\frac{1}{5}
C.
16\frac{1}{6}
D.
17\frac{1}{7}

2012 · 福建 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
设函数
D(x)={1,x 为有理数,0,x 为无理数,D(x) = \begin{cases} 1, & x\text{ 为有理数},\\ 0, & x\text{ 为无理数}, \end{cases}
则下列结论错误的是（ ）
A.
D(x)D(x) 的值域为 {0,1}\{0,1\}
B.
D(x)D(x) 是偶函数
C.
D(x)D(x) 不是周期函数
D.
D(x)D(x) 不是单调函数

2012 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
已知双曲线 x24−y2b2=1\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 的右焦点与抛物线 y2=12xy^{2} = 12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
A.
5\sqrt{5}
B.
424\sqrt{2}
C.
3
D.
5

2012 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09指数函数与对数函数★★★☆☆
若函数 y=2xy = 2^{x} 图象上存在点 (x,y)(x,y) 满足约束条件
{x+y−3⩽0,x−2y−3⩽0,x⩾m,\begin{cases} x + y - 3 \leqslant 0,\\ x - 2y - 3 \leqslant 0,\\ x \geqslant m, \end{cases}
则实数 mm 的最大值为（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
1
C.
32\frac{3}{2}
D.
2

2012 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
函数 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上有定义，若对任意 x1x_{1}，x2∈[a,b]x_{2} \in [a,b]，有 f(x1+x22)⩽12[f(x1)+f(x2)]f\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}[f(x_{1}) + f(x_{2})]，则称 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上具有性质 PP. 设 f(x)f(x) 在 [1,3][1,3] 上具有性质 PP，现给出如下命题：
① f(x)f(x) 在 [1,3][1,3] 上的图象是连续不断的； ② f(x2)f(x^{2}) 在 [1,3][1,\sqrt{3}] 上具有性质 PP； ③ 若 f(x)f(x) 在 x=2x = 2 处取得最大值 11，则 f(x)=1f(x) = 1，x∈[1,3]x \in [1,3]； ④ 对任意 x1x_{1}，x2x_{2}，x3x_{3}，x4∈[1,3]x_{4} \in [1,3]，有 f(x1+x2+x3+x44)⩽14[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]f\left(\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}}{4}\right) \leqslant \frac{1}{4}[f(x_{1}) + f(x_{2}) + f(x_{3}) + f(x_{4})].
其中真命题的序号是（ ）
A.
\circled1\circled2\circled{1}\circled{2}
B.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}
C.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
D.
\circled3\circled4\circled{3}\circled{4}

2012 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★☆☆☆☆
(a+x)4(a + x)^{4} 的展开式中 x3x^{3} 的系数等于 88，则实数 a=a =______.

2012 · 福建 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★☆☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 ss 值等于______.

2012 · 福建 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★★☆☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的三边长成公比为 2\sqrt{2} 的等比数列，则其最大角的余弦值为______.

2012 · 福建 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式 an=ncos⁡nπ2+1a_{n} = n\cos\frac{n\pi}{2} + 1，前 nn 项和为 SnS_{n}，则 S2012=S_{2012} =______.

2012 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
对于实数 aa 和 bb，定义运算“∗\ast”：
a∗b={a2−ab,a⩽b,b2−ab,a>b.a \ast b = \begin{cases} a^{2} - ab, & a \leqslant b,\\ b^{2} - ab, & a > b. \end{cases}
设 f(x)=(2x−1)∗(x−1)f(x) = (2x - 1) \ast (x - 1)，且关于 xx 的方程 f(x)=mf(x) = m （m∈Rm \in \mathbf{R}）恰有三个互不相等的实数根 x1x_{1}，x2x_{2}，x3x_{3}，则 x1x2x3x_{1}x_{2}x_{3} 的取值范围是______.

2012 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16概率与统计★★★☆☆
受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关. 某轿车制造厂生产甲，乙两种品牌轿车，保修期均为 22 年. 现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 5050 辆，统计数据如下：
\begin{array}{c} \hline 品牌 & \multicolumn{3}{c|}{甲} & \multicolumn{2}{c|}{乙} \\ \hline 首次出现故障的时间 $x$（$\text{年}$） & $0 < x \leqslant 1$ & $1 < x \leqslant 2$ & $x > 2$ & $0 < x \leqslant 2$ & $x > 2$ \\ \hline 轿车数量（$\text{辆}$） & 2 & 3 & 45 & 5 & 45 \\ \hline 每辆利润（$\text{万元}$） & 1 & 2 & 3 & 1.8 & 2.9 \\ \hline \end{array}
将频率视为概率，解答下列问题：
(1) 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； (2) 若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1X_{1}，生产一辆乙品牌轿车的利润为 X2X_{2}，分别求 X1X_{1}，X2X_{2} 的分布列； (3) 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的新车. 若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？请说明理由.

2012 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17三角函数★★★☆☆
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
① sin⁡213∘+cos⁡217∘−sin⁡13∘cos⁡17∘\sin^{2}13^{\circ} + \cos^{2}17^{\circ} - \sin13^{\circ}\cos17^{\circ}； ② sin⁡215∘+cos⁡215∘−sin⁡15∘cos⁡15∘\sin^{2}15^{\circ} + \cos^{2}15^{\circ} - \sin15^{\circ}\cos15^{\circ}； ③ sin⁡218∘+cos⁡212∘−sin⁡18∘cos⁡12∘\sin^{2}18^{\circ} + \cos^{2}12^{\circ} - \sin18^{\circ}\cos12^{\circ}； ④ sin⁡2(−18∘)+cos⁡248∘−sin⁡(−18∘)cos⁡48∘\sin^{2}(-18^{\circ}) + \cos^{2}48^{\circ} - \sin(-18^{\circ})\cos48^{\circ}； ⑤ sin⁡2(−25∘)+cos⁡255∘−sin⁡(−25∘)cos⁡55∘\sin^{2}(-25^{\circ}) + \cos^{2}55^{\circ} - \sin(-25^{\circ})\cos55^{\circ}.
(1) 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

2012 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AA1=AD=1AA_{1} = AD = 1，EE 为 CDCD 的中点.
(1) 求证：B1E⊥AD1B_{1}E \perp AD_{1}； (2) 在棱 AA1AA_{1} 上是否存在一点 PP，使得 DP∥DP \parallel 平面 B1AEB_{1}AE？若存在，求 APAP 的长；若不存在，请说明理由； (3) 若二面角 A−B1E−A1A-B_{1}E-A_{1} 的大小为 30∘30^{\circ}，求 ABAB 的长.

2012 · 福建 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
如图，椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>b>0a > b > 0）的左焦点为 F1F_{1}，右焦点为 F2F_{2}，离心率 ε=12\varepsilon = \frac{1}{2}，过 F1F_{1} 的直线交椭圆于 AA，BB 两点，且 △ABF2\triangle ABF_{2} 的周长为 88.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 设动直线 l:y=kx+ml: y = kx + m 与椭圆 EE 有且只有一个公共点 PP，且与直线 x=4x = 4 相交于点 QQ. 试探究：在坐标平面内是否存在定点 MM，使得以 PQPQ 为直径的圆恒过点 MM？若存在，求出点 MM 的坐标；若不存在，请说明理由.

2012 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+ax2−exf(x) = \mathrm{e}^{x} + ax^{2} - \mathrm{e} x，a∈Ra \in \mathbf{R}.
(1) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线平行于 xx 轴，求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 试确定 aa 的取值范围，使得曲线 y=f(x)y = f(x) 上存在唯一的点 PP，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 PP.

2012 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★☆☆☆
设曲线 2x2+2xy+y2=12x^{2} + 2xy + y^{2} = 1 在矩阵
A=(a0b1)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{pmatrix}
（a>0a > 0）对应的变换作用下得到的曲线为 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1.
(1) 求实数 aa，bb 的值； (2) 求 A2A^{2} 的逆矩阵.

2012 · 福建 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系中，以坐标原点 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 ll 上两点 MM，NN 的极坐标分别为 (2,0)(2,0)，(233,π2)\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{\pi}{2}\right)，圆 CC 的参数方程为
{x=2+2cos⁡θ,y=−3+2sin⁡θ,\begin{cases} x = 2 + 2\cos\theta,\\ y = -\sqrt{3} + 2\sin\theta, \end{cases}
（θ\theta 为参数）.
(1) 设 PP 为线段 MNMN 的中点，求直线 OPOP 的平面直角坐标方程； (2) 判断直线 ll 与圆 CC 的位置关系.

2012 · 福建 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=m−∣x−2∣f(x) = m - |x - 2|，m∈Rm \in \mathbf{R}. 且 f(x+2)⩾0f(x + 2) \geqslant 0 的解集为 [−1,1][-1,1].
(1) 求 mm 的值； (2) 若 aa，bb，c∈R+c \in \mathbf{R}^{+}，且 1a+12b+13c=m\frac{1}{a} + \frac{1}{2b} + \frac{1}{3c} = m，求证：a+2b+3c⩾9a + 2b + 3c \geqslant 9.

2012 · 福建 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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