在 $\triangle ABC$ 中，$AB=2$，$BC=1.5$，$\angle ABC=120^{\circ}$. 若使三角形绕直线 $BC$ 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）

在三棱锥 $S-ABC$ 中，如图，$\angle SAB=\angle SAC=\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=2$，$BC=\sqrt{13}$，$SB=\sqrt{29}$.

(1) 证明：$SC\perp BC$； (2) 求侧面 $SBC$ 与底面 $ABC$ 所成的二面角大小； (3) 求异面直线 $SC$ 与 $AB$ 所成的角的大小（用反三角函数表示）.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $\angle SAB=\angle SAC=90^{\circ}$，且直线 $AB$，$AC$ 在平面 $ABC$ 内相交于 $A$，可知 $SA\perp\text{平面 }ABC$. 取直角坐标系，使 $A=(0,0,0)$，$C=(2,0,0)$，$B=(2,\sqrt{13},0)$，则由 $SB=\sqrt{29}$ 得 $S=(0,0,h)$，且 $4+13+h^{2}=29$，所以 $h=2\sqrt{3}$. 因此 $\overrightarrow{SC}=(2,0,-2\sqrt{3})$，$\overrightarrow{BC}=(0,-\sqrt{13},0)$，从而 $\overrightarrow{SC}\cdot\overrightarrow{BC}=0$，故 $SC\perp BC$. \item 由第（1）问，直线 $SC$ 垂直于棱 $BC$，而直线 $AC$ 也垂直于 $BC$，所以侧面 $SBC$ 与底面 $ABC$ 所成的二面角等于 $\angle ACS$. 又 $\overrightarrow{CA}=(-2,0,0)$，$\overrightarrow{CS}=(-2,0,2\sqrt{3})$，故 $\lvert CA\rvert=2$，$\lvert CS\rvert=4$，且 $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CS}=4$. 因而 $\cos\angle ACS=\dfrac{4}{2\times4}=\dfrac12$，所以二面角大小为 $\dfrac{\pi}{3}$. \item 直线 $SC$ 与 $AB$ 的方向向量可分别取 $\overrightarrow{CS}=(-2,0,2\sqrt{3})$ 和 $\overrightarrow{AB}=(2,\sqrt{13},0)$. 两向量的数量积为 $-4$，长度分别为 $4$ 和 $\sqrt{17}$. 设异面直线所成的锐角为 $\varphi$，则 $\cos\varphi=\dfrac{\lvert-4\rvert}{4\sqrt{17}}=\dfrac{1}{\sqrt{17}}$，所以 $\varphi=\arccos\dfrac{1}{\sqrt{17}}=\arctan4$. \end{enumerate} \end{solution}

假设 $A$ 型进口车关税税率在 $2001\text{ 年}$是 $100\%$，在 $2006\text{ 年}$是 $25\%$，$2001\text{ 年}$ $A$ 型进口车每辆价格为 $64\text{ 万元}$（其中含 $32\text{ 万元}$关税税款）.

(1) 已知与 $A$ 型车性能相近的 $B$ 型国产车，$2001\text{ 年}$每辆价格为 $46\text{ 万元}$，若 $A$ 型车的价格只受关税降低的影响，为了保证 $2006\text{ 年}$ $B$ 型车的价格不高于 $A$ 型车价格的 $90\%$，$B$ 型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？ (2) 某人在 $2001\text{ 年}$将 $33\text{ 万元}$存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为 $1.8\%$（$5\text{ 年}$内不变），且每年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买按（1）中所述降价后的 $B$ 型车一辆？

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 $A$ 型车的完税前价格为 $p$ 万元. 由 $2001\text{ 年}$的关税税率为 $100\%$，且关税为 $32\text{ 万元}$，得 $p=32$. 因而 $2006\text{ 年}$的 $A$ 型车价格为 $32(1+25\%)=40$ 万元. 为使 $B$ 型车价格不高于该价格的 $90\%$，其 $2006\text{ 年}$价格至多为 $40\times90\%=36$ 万元. 由 $2001\text{ 年}$的 $46$ 万元降至至多 $36$ 万元，五年间至少下降 $46-36=10$ 万元. 因此平均每年至少下降 $\dfrac{10}{2006-2001}=2$ 万元. \item 按每年至少下降 $2$ 万元计算，$2006\text{ 年}$的 $B$ 型车价格至多为 $36$ 万元. 五年后存款本息为 $33(1+1.8\%)^{5}=33(1.018)^{5}\approx36.08$ 万元，而 $36.08>36$. 所以五年到期时这笔钱一定够买按上述降价后的 $B$ 型车一辆. \end{enumerate} \end{solution}

已知点的序列 $A_n(x_n,0)$，$n\in\mathbf{N}$，其中 $x_1=0$，$x_2=a$（$a<0$），$A_3$ 是线段 $A_1A_2$ 的中点，$A_4$ 是线段 $A_2A_3$ 的中点，$\cdots$，$A_n$ 是线段 $A_{n-2}A_{n-1}$ 的中点，$\cdots$.

(1) 写出 $x_n$ 与 $x_{n-1}$，$x_{n-2}$ 之间的关系式（$n\geqslant3$）； (2) 设 $a_n=x_{n+1}-x_n$，计算 $a_1$，$a_2$，$a_3$，由此推测数列 $\{a_n\}$ 的通项公式，并加以证明； (3) 求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 $A_n$ 是线段 $A_{n-2}A_{n-1}$ 的中点，所以 $x_n=\dfrac{x_{n-2}+x_{n-1}}{2}$，即 $2x_n=x_{n-1}+x_{n-2}$（$n\geqslant3$）. \item 由 $x_1=0$，$x_2=a$，得 $x_3=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{a}{2}$，$x_4=\dfrac{x_2+x_3}{2}=\dfrac{3a}{4}$. 因而 $a_1=x_2-x_1=a$，$a_2=x_3-x_2=-\dfrac{a}{2}$，$a_3=x_4-x_3=\dfrac{a}{4}$. 对任意 $n\geqslant1$，由递推关系有 $a_{n+1}=x_{n+2}-x_{n+1}=\dfrac{x_n+x_{n+1}}{2}-x_{n+1}=-\dfrac12a_n$. 所以 $\{a_n\}$ 是首项为 $a$、公比为 $-\dfrac12$ 的等比数列，从而 $a_n=a\left(-\dfrac12\right)^{n-1}$. \item 由 $x_n=x_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}a_k$，得 $x_n=a\displaystyle\sum_{k=0}^{n-2}\left(-\dfrac12\right)^k=\dfrac{2a}{3}\left(1-\left(-\dfrac12\right)^{n-1}\right)$. 因为 $\left(-\dfrac12\right)^{n-1}\to0$，所以 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=\dfrac{2a}{3}$. \end{enumerate} \end{solution}