给出下列四个命题：

① 垂直于同一直线的两条直线互相平行； ② 垂直于同一平面的两个平面互相平行； ③ 若直线 $l_{1}$，$l_{2}$ 与同一平面所成的角相等，则 $l_{1}$，$l_{2}$ 互相平行； ④ 若直线 $l_{1}$，$l_{2}$ 是异面直线，则与 $l_{1}$，$l_{2}$ 都相交的两条直线是异面直线.

其中假命题的个数是（ ）

曲线 $\frac{x^2}{10 - m} + \frac{y^2}{6 - m} = 1$（$m < 6$）与曲线 $\frac{x^2}{5 - n} + \frac{y^2}{9 - n} = 1$（$5 < n < 9$）的（ ）

直线 $y = 2k$ 与曲线 $9k^2 x^2 + y^2 = 18k^2 |x|$（$k \in \mathbf{R}$，且 $k \neq 0$）的公共点的个数为（ ）

设 $O(0,0)$，$A(1,0)$，$B(0,1)$，点 $P$ 是线段 $AB$ 上的一个动点，$\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AB}$，若 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{AB} \geqslant \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$，则实数 $\lambda$ 的取值范围是（ ）

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\frac{4}{5} - \frac{6}{7}\right) + \left(\frac{4}{5^2} - \frac{6}{7^2}\right) + \cdots + \left(\frac{4}{5^n} - \frac{6}{7^n}\right)}{\left(\frac{4}{6} - \frac{4}{5}\right) + \left(\frac{4}{6^2} - \frac{4}{5^2}\right) + \cdots + \left(\frac{4}{6^n} - \frac{4}{5^n}\right)} =$______.

$5$名乒乓球队队员中，有$2$名老队员和$3$名新队员. 从中选出$3$名队员排成$1$，$2$，$3$号参加团体比赛，则入选的$3$名队员中至少有$1$名老队员，且$1$，$2$号中至少有$1$名新队员的排列方法有______种.（以数作答）

现有甲，乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是 $1.2$ 万元，$1.18$ 万元，$1.17$ 万元的概率分别为 $\frac{1}{6}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关. 在每次调整中，价格下降的概率都是 $p$（$0 < p < 1$），设乙项目产品价格在一年内进行 $2$ 次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为 $\xi$，对乙项目每投资十万元，$\xi$ 取 $0$，$1$，$2$ 时，一年后相应利润是 $1.3$ 万元，$1.25$ 万元，$0.2$ 万元. 随机变量 $\xi_1$，$\xi_2$ 分别表示对甲，乙两项目各投资十万元一年的利润.

(1) 求 $\xi_1$，$\xi_2$ 的概率分布和数学期望 $E(\xi_1)$，$E(\xi_2)$； (2) 当 $E(\xi_1) < E(\xi_2)$ 时，求 $p$ 的取值范围.