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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={1,2}A = \{1, 2\}，则满足 A∪B={1,2,3}A \cup B = \{1, 2, 3\} 的集合 BB 的个数是（ ）
A.
11
B.
33
C.
44
D.
88

2006 · 辽宁 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★★☆☆☆
设 f(x)f(x) 是 R\mathbf{R} 上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A.
f(x)f(−x)f(x)f(-x) 是奇函数
B.
f(x)∣f(−x)∣f(x)|f(-x)| 是奇函数
C.
f(x)−f(−x)f(x) - f(-x) 是偶函数
D.
f(x)+f(−x)f(x) + f(-x) 是偶函数

2006 · 辽宁 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03立体几何初步★★★☆☆
给出下列四个命题：
① 垂直于同一直线的两条直线互相平行； ② 垂直于同一平面的两个平面互相平行； ③ 若直线 l1l_{1}，l2l_{2} 与同一平面所成的角相等，则 l1l_{1}，l2l_{2} 互相平行； ④ 若直线 l1l_{1}，l2l_{2} 是异面直线，则与 l1l_{1}，l2l_{2} 都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2006 · 辽宁 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★☆☆☆
双曲线 x2−y2=4x^{2}-y^{2}=4 的两条渐近线与直线 x=3x=3 围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）
A.
{x−y⩾0,x+y⩾0,0⩽x⩽3\begin{cases} x - y \geqslant 0,\\ x + y \geqslant 0,\\ 0 \leqslant x \leqslant 3 \end{cases}
B.
{x−y⩾0,x+y⩽0,0⩽x⩽3\begin{cases} x - y \geqslant 0,\\ x + y \leqslant 0,\\ 0 \leqslant x \leqslant 3 \end{cases}
C.
{x−y⩽0,x+y⩽0,0⩽x⩽3\begin{cases} x - y \leqslant 0,\\ x + y \leqslant 0,\\ 0 \leqslant x \leqslant 3 \end{cases}
D.
{x−y⩽0,x+y⩾3,0⩽x⩽3\begin{cases} x - y \leqslant 0,\\ x + y \geqslant 3,\\ 0 \leqslant x \leqslant 3 \end{cases}

2006 · 辽宁 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 ⊕\oplus 是 R\mathbf{R} 上的一个运算，AA 是 R\mathbf{R} 的非空子集，若对任意 aa，b∈Ab\in A，有 a⊕b∈Aa\oplus b\in A，则称 AA 对运算 ⊕\oplus 封闭. 下列数集对加法，减法，乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（ ）
A.
自然数集
B.
整数集
C.
有理数集
D.
无理数集

2006 · 辽宁 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
△ABC\triangle ABC 的三内角 AA，BB，CC，所对边的长分别为 aa，bb，cc，设向量 p=(a+c,b)\boldsymbol{p} = (a + c, b)，q=(b−a,c−a)\boldsymbol{q} = (b - a, c - a). 若 p∥q\boldsymbol{p} \parallel \boldsymbol{q}，则角 CC 的大小为（ ）
A.
π6\frac{\pi}{6}
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
π2\frac{\pi}{2}
D.
2π3\frac{2\pi}{3}

2006 · 辽宁 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★☆☆☆
与方程 y=e2x−2ex+1y = \mathrm{e}^{2x} - 2\mathrm{e}^{x} + 1（x⩾0x \geqslant 0）的曲线关于直线 y=xy = x 对称的曲线方程（ ）
A.
y=ln⁡(1+x)y = \ln (1 + \sqrt{x})
B.
y=ln⁡(1−x)y = \ln (1 - \sqrt{x})
C.
y=−ln⁡(1+x)y = -\ln (1 + \sqrt{x})
D.
y=−ln⁡(1−x)y = -\ln (1 - \sqrt{x})

2006 · 辽宁 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
曲线 x210−m+y26−m=1\frac{x^2}{10 - m} + \frac{y^2}{6 - m} = 1（m<6m < 6）与曲线 x25−n+y29−n=1\frac{x^2}{5 - n} + \frac{y^2}{9 - n} = 1（5<n<95 < n < 9）的（ ）
A.
焦距相等
B.
离心率相等
C.
焦点相同
D.
准线相同

2006 · 辽宁 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09数列★★☆☆☆
在等比数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=2a_{1} = 2，前 nn 项和为 SnS_{n}，若数列 {an+1}\{a_{n} + 1\} 也是等比数列，则 SnS_{n} 等于（ ）
A.
2n+1−22^{n + 1} - 2
B.
3n3n
C.
2n2n
D.
3n−13^n -1

2006 · 辽宁 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
直线 y=2ky = 2k 与曲线 9k2x2+y2=18k2∣x∣9k^2 x^2 + y^2 = 18k^2 |x|（k∈Rk \in \mathbf{R}，且 k≠0k \neq 0）的公共点的个数为（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2006 · 辽宁 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=12(sin⁡x+cos⁡x)−12∣sin⁡x−cos⁡x∣f(x) = \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) - \frac{1}{2} |\sin x - \cos x|，则 f(x)f(x) 的值域是（ ）
A.
[−1,1]\left[-1,1\right]
B.
[−22,1]\left[-\frac{\sqrt{2}}{2},1\right]
C.
[−1,22]\left[-1,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]
D.
[−1,−22]\left[-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right]

2006 · 辽宁 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12平面向量★★★☆☆
设 O(0,0)O(0,0)，A(1,0)A(1,0)，B(0,1)B(0,1)，点 PP 是线段 ABAB 上的一个动点，AP→=λAB→\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AB}，若 OP→⋅AB→⩾PA→⋅PB→\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{AB} \geqslant \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}，则实数 λ\lambda 的取值范围是（ ）
A.
12⩽λ⩽1\frac{1}{2} \leqslant \lambda \leqslant 1
B.
1−22⩽λ⩽11 - \frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant \lambda \leqslant 1
C.
12⩽λ⩽1+22\frac{1}{2} \leqslant \lambda \leqslant 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}
D.
1−22⩽λ⩽1+221 - \frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant \lambda \leqslant 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}

2006 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13函数与初等函数★☆☆☆☆
设
g(x)={ex,x⩽0,ln⁡x,x>0,g(x) = \begin{cases} \mathrm{e}^x, & x \leqslant 0,\\ \ln x, & x > 0, \end{cases}
则 g(g(12))=g\left(g\left(\frac{1}{2}\right)\right) =______.

2006 · 辽宁 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
lim⁡n→∞(45−67)+(452−672)+⋯+(45n−67n)(46−45)+(462−452)+⋯+(46n−45n)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\frac{4}{5} - \frac{6}{7}\right) + \left(\frac{4}{5^2} - \frac{6}{7^2}\right) + \cdots + \left(\frac{4}{5^n} - \frac{6}{7^n}\right)}{\left(\frac{4}{6} - \frac{4}{5}\right) + \left(\frac{4}{6^2} - \frac{4}{5^2}\right) + \cdots + \left(\frac{4}{6^n} - \frac{4}{5^n}\right)} =______.

2006 · 辽宁 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
55名乒乓球队队员中，有22名老队员和33名新队员. 从中选出33名队员排成11，22，33号参加团体比赛，则入选的33名队员中至少有11名老队员，且11，22号中至少有11名新队员的排列方法有______种.（以数作答）

2006 · 辽宁 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为 α\alpha，则 cos⁡α=\cos \alpha =______.

2006 · 辽宁 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+3cos⁡2xf(x) = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + 3 \cos^2 x，x∈Rx \in \mathbf{R}. 求：
(1) 函数 f(x)f(x) 的最大值及取得最大值的自变量 xx 的集合； (2) 函数 f(x)f(x) 的单调增区间.

2006 · 辽宁 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
已知正方形 ABCDABCD，EE，FF 分别是边 ABAB，CDCD 的中点，将 △ADE\triangle ADE 沿 DEDE 折起，如图所示，记二面角 A−DE−CA - DE - C 的大小为 θ\theta（0<θ<π0 < \theta < \pi）.
(1) 证明：BF∥BF \parallel 平面 ADEADE； (2) 若 △ACD\triangle ACD 为正三角形，试判断点 AA 在平面 BCDEBCDE 内的射影 GG 是否在直线 EFEF 上. 证明你的结论，并求角 θ\theta 的余弦值.

2006 · 辽宁 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
现有甲，乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是 1.21.2 万元，1.181.18 万元，1.171.17 万元的概率分别为 16\frac{1}{6}，12\frac{1}{2}，13\frac{1}{3}；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关. 在每次调整中，价格下降的概率都是 pp（0<p<10 < p < 1），设乙项目产品价格在一年内进行 22 次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为 ξ\xi，对乙项目每投资十万元，ξ\xi 取 00，11，22 时，一年后相应利润是 1.31.3 万元，1.251.25 万元，0.20.2 万元. 随机变量 ξ1\xi_1，ξ2\xi_2 分别表示对甲，乙两项目各投资十万元一年的利润.
(1) 求 ξ1\xi_1，ξ2\xi_2 的概率分布和数学期望 E(ξ1)E(\xi_1)，E(ξ2)E(\xi_2)； (2) 当 E(ξ1)<E(ξ2)E(\xi_1) < E(\xi_2) 时，求 pp 的取值范围.

2006 · 辽宁 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知点 A(x1,y1)A(x_{1},y_{1})，B(x2,y2)B(x_{2},y_{2})（x1x_{1}，x2≠0x_{2}\neq 0）是抛物线 y2=2pxy^{2} = 2px（p>0p > 0）上的两个动点，OO 是坐标原点，向量 OA→\overrightarrow{OA}，OB→\overrightarrow{OB} 满足 ∣OA→+OB→∣=∣OA→−OB→∣\left|\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB}\right| = \left|\overrightarrow{OA} -\overrightarrow{OB}\right|. 设圆 CC 的方程为 x2+y2−(x1+x2)x−(y1+y2)y=0x^{2} + y^{2} - (x_{1} + x_{2})x - (y_{1} + y_{2})y = 0.
(1) 证明线段 ABAB 是圆 CC 的直径； (2) 当圆 CC 的圆心到直线 x−2y=0x - 2y = 0 的距离的最小值为 255\frac{2\sqrt{5}}{5} 时，求 pp 的值.

2006 · 辽宁 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=13ax3+bx2+cx+df(x) = \frac{1}{3} ax^3 + bx^2 + cx + d，其中 aa，bb，cc 是以 dd 为公差的等差数列，且 a>0a > 0，d>0d > 0. 设 x0x_0 为 f(x)f(x) 的极小值点. 在 [1−2ba,0]\left[1 - \frac{2b}{a}, 0\right] 上，f′(x)f'(x) 在 x1x_1 处取得最大值，在 x2x_2 处取得最小值. 将 (x0,f(x0))(x_0, f(x_0))，(x1,f′(x1))(x_1, f'(x_1))，(x2,f′(x2))(x_2, f'(x_2)) 依次记为 AA，BB，CC.
(1) 求 x0x_0； (2) 若 △ABC\triangle ABC 有一边平行于 xx 轴，且面积为 2+32 + \sqrt{3}，求 aa，dd 的值.

2006 · 辽宁 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22计数原理与组合数学★★★★★
已知 f0(x)=xnf_{0}(x) = x^{n}，fk(x)=fk−1′(x)fk−1(1)f_{k}(x) = \frac{f'_{k-1}(x)}{f_{k-1}(1)}，其中 k⩽nk \leqslant n（nn，k∈N+k\in\mathbf{N}_{+}）. 设 F(x)=Cn0f0(x2)+Cn1f1(x2)+⋯+Cnnfn(x2)F(x) = \mathrm C_n^0 f_0(x^{2}) + \mathrm C_n^1 f_1(x^{2}) + \cdots + \mathrm C_n^n f_n(x^{2})，x∈[−1,1]x \in [-1,1].
(1) 写出 fk(1)f_k(1)； (2) 证明：对任意的 x1x_{1}，x2∈[−1,1]x_{2}\in[-1,1]，恒有 ∣F(x1)−F(x2)∣⩽2n−1(n+2)−n−1|F(x_{1}) - F(x_{2})| \leqslant 2^{n-1}(n+2) - n - 1.

2006 · 辽宁 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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