如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系 $x$ 轴上方，其“底端”落在原点 $O$ 处，一顶点及中心 $M$ 在 $y$ 轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成. 今使“凸轮”沿 $x$ 轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置. 则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上，下放置，应大致为（ ）

在 $\triangle ABC$ 中，$A$，$B$，$C$ 的对边分别是 $a$，$b$，$c$. 已知 $3a \cos A = c \cos B + b \cos C$.

(1) 求 $\cos A$ 的值； (2) 若 $a = 1$，$\cos B + \cos C = \frac{2\sqrt{3}}{3}$，求边 $c$ 的值.

如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B = \frac{\pi}{2}$，$AB = BC = 2$. $P$ 为 $AB$ 边上动一点，$PD \parallel BC$ 交 $AC$ 于点 $D$，现将 $\triangle PDA$ 沿 $PD$ 翻折至 $\triangle PDA'$，使平面 $PDA' \perp$ 平面 $PBCD$.

(1) 当棱锥 $A' - PBCD$ 的体积最大时，求 $PA$ 的长； (2) 若点 $P$ 为 $AB$ 的中点，$E$ 为 $A'C$ 的中点，求证： $A'B \perp DE$.