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05立体几何初步★★★☆☆
在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，如果 AB=BC=aAB=BC=a，AA1=2aAA_1=2a，那么点 AA 到直线 A1CA_1C 的距离等于（ ）
A.
263a\frac{2\sqrt{6}}{3}a
B.
362a\frac{3\sqrt{6}}{2}a
C.
233a\frac{2\sqrt{3}}{3}a
D.
63a\frac{\sqrt{6}}{3}a

1992 · 三南 · 第 5 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★☆☆
有一条半径是 22 的弧，其度数是 60∘60^\circ，它绕经过弧的中点的直径旋转得到一个球冠，那么这个球冠的面积是（ ）
A.
4(2−3)π4(2-\sqrt{3})\pi
B.
2(2−3π)2(2-\sqrt{3}\pi)
C.
43π4\sqrt{3}\pi
D.
23π2\sqrt{3}\pi

1992 · 三南 · 第 11 题 · 选择题

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13集合与逻辑基础★★★☆☆
设全集 U=RU=\mathbf{R}，集合 M={x∣x2>2}M=\left\{x\mid \sqrt{x^2}>2\right\}，N={x∣log⁡x7>log⁡37}N=\left\{x\mid \log_x 7>\log_3 7\right\}，那么 M∩N‾=M\cap\overline{N}=（ ）
A.
{x∣x<−2}\{x\mid x<-2\}
B.
{x∣x<−2 或 x⩾3}\{x\mid x<-2\text{\ 或\ }x\geqslant 3\}
C.
{x∣x⩾3}\{x\mid x\geqslant 3\}
D.
{x∣−2⩽x<3}\{x\mid -2\leqslant x<3\}

1992 · 三南 · 第 13 题 · 选择题

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14数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是由正数组成的等比数列，公比 q=2q=2，且 a1a2a3⋯a30=230a_1a_2a_3\cdots a_{30}=2^{30}，那么 a3a6a9⋯a30a_3a_6a_9\cdots a_{30} 等于（ ）
A.
2102^{10}
B.
2202^{20}
C.
2162^{16}
D.
2152^{15}

1992 · 三南 · 第 14 题 · 选择题

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15三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 不是直角三角形，AA 和 BB 是它的两个内角，那么（ ）
A.
“A<BA<B”是“tan⁡A<tan⁡B\tan A<\tan B”的充分条件，但不是必要条件
B.
“A<BA<B”是“tan⁡A<tan⁡B\tan A<\tan B”的必要条件，但不是充分条件
C.
“A<BA<B”是“tan⁡A<tan⁡B\tan A<\tan B”的充分必要条件
D.
“A<BA<B”不是“tan⁡A<tan⁡B\tan A<\tan B”的充分条件，也不是必要条件

1992 · 三南 · 第 15 题 · 选择题

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22计数原理与组合数学★★★☆☆
919291^{92} 除以 100100 的余数是______.

1992 · 三南 · 第 22 题 · 填空题

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23立体几何初步★★★☆☆
已知三棱锥 A−BCDA-BCD 的体积是 VV，棱 BCBC 的长是 aa，面 ABCABC 和面 DBCDBC 的面积分别是 S1S_1 和 S2S_2. 设面 ABCABC 和面 DBCDBC 所成的二面角是 α\alpha，那么 sin⁡α=\sin \alpha=______.

1992 · 三南 · 第 23 题 · 填空题

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24指数函数与对数函数★★★☆☆
已知关于 xx 的方程 2a2x−2−7ax−1+3=02a^{2x-2}-7a^{x-1}+3=0 有一个根是 22，求 aa 的值和方程其余的根.

1992 · 三南 · 第 24 题 · 解答题

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25立体几何初步★★★☆☆
已知平面 α\alpha 和不在这个平面内的直线 aa 都垂直于平面 β\beta. 求证： a∥αa\parallel \alpha.

1992 · 三南 · 第 25 题 · 解答题

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26不等式★★★☆☆
证明不等式： 1+12+13+⋯+1n<2n1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}（n∈N∗n\in \mathbf{N}^*）.

1992 · 三南 · 第 26 题 · 解答题

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28复数★★★☆☆
求同时满足下列两个条件的所有复数 zz：
① z+10zz+\frac{10}{z} 是实数，且 1<z+10z⩽61<z+\frac{10}{z}\leqslant 6； ② zz 的实部和虚部都是整数.

1992 · 三南 · 第 28 题 · 解答题

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