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01复数★☆☆☆☆
设函数 z=i2+3iz=\mathrm{i}^2+\sqrt{3}\mathrm{i}，那么 arg⁡z\arg z 是（ ）
A.
56π\frac{5}{6}\pi
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
23π\frac{2}{3}\pi
D.
−43π-\frac{4}{3}\pi

1992 · 三南 · 第 1 题 · 选择题

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02立体几何初步★☆☆☆☆
如果等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的体积是 16π cm316\pi\mathrm{~cm}^3，那么它的底面半径等于（ ）
A.
423 cm4\sqrt[3]{2}\mathrm{~cm}
B.
4 cm4\mathrm{~cm}
C.
223 cm2\sqrt[3]{2}\mathrm{~cm}
D.
2 cm2\mathrm{~cm}

1992 · 三南 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
arcsin⁡32−arccos⁡(−12)arctan⁡(−3)\frac{\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}-\arccos \left( -\frac{1}{2} \right)}{\arctan \left( -\sqrt{3} \right)} 的值等于（ ）
A.
11
B.
00
C.
−25-\frac{2}{5}
D.
65\frac{6}{5}

1992 · 三南 · 第 3 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★☆☆☆☆
函数 y=log⁡12(1−x)y=\log_{\frac{1}{2}}(1-x)（x<1x<1）的反函数是（ ）
A.
y=1+2−xy=1+2^{-x}（x∈Rx\in\mathbf{R}）
B.
y=1−2−xy=1-2^{-x}（x∈Rx\in\mathbf{R}）
C.
y=1+2xy=1+2^x（x∈Rx\in\mathbf{R}）
D.
y=1−2xy=1-2^x（x∈Rx\in\mathbf{R}）

1992 · 三南 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，如果 AB=BC=aAB=BC=a，AA1=2aAA_1=2a，那么点 AA 到直线 A1CA_1C 的距离等于（ ）
A.
263a\frac{2\sqrt{6}}{3}a
B.
362a\frac{3\sqrt{6}}{2}a
C.
233a\frac{2\sqrt{3}}{3}a
D.
63a\frac{\sqrt{6}}{3}a

1992 · 三南 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡xcos⁡x+3cos⁡2x−32y=\sin x\cos x+\sqrt{3}\cos^2 x-\frac{\sqrt{3}}{2} 的最小正周期等于（ ）
A.
π\pi
B.
2π2\pi
C.
π4\frac{\pi}{4}
D.
π2\frac{\pi}{2}

1992 · 三南 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
有一个椭圆，它的极坐标方程是（ ）
A.
ρ=53−2cos⁡θ\rho=\frac{5}{\sqrt{3}-2\cos\theta}
B.
ρ=53−3cos⁡θ\rho=\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{3}\cos\theta}
C.
ρ=2−3cos⁡θ5\rho=\frac{2-\sqrt{3}\cos\theta}{5}
D.
ρ=52−3cos⁡θ\rho=\frac{5}{2-\sqrt{3}\cos\theta}

1992 · 三南 · 第 7 题 · 选择题

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08不等式★★☆☆☆
不等式 ∣x−2−3∣<1\left| \sqrt{x-2}-3 \right|<1 的解集是（ ）
A.
{x∣5<x<16}\{x\mid 5<x<16\}
B.
{x∣6<x<18}\{x\mid 6<x<18\}
C.
{x∣7<x<20}\{x\mid 7<x<20\}
D.
{x∣8<x<22}\{x\mid 8<x<22\}

1992 · 三南 · 第 8 题 · 选择题

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09数列★☆☆☆☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的公差是 dd，如果它的前 nn 项和 Sn=−n2S_n=-n^2，那么（ ）
A.
an=2n−1a_n=2n-1，d=−2d=-2
B.
an=2n−1a_n=2n-1，d=2d=2
C.
an=−2n+1a_n=-2n+1，d=−2d=-2
D.
an=−2n+1a_n=-2n+1，d=2d=2

1992 · 三南 · 第 9 题 · 选择题

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10三角函数★★☆☆☆
方程 cos⁡2x=3cos⁡x+1\cos 2x=3\cos x+1 的解集是（ ）
A.
{x∣x=2kπ±23π, k∈Z}\left\{x\mid x=2k\pi\pm\frac{2}{3}\pi,\ k\in\mathbf{Z}\right\}
B.
{x∣x=kπ±13π, k∈Z}\left\{x\mid x=k\pi\pm\frac{1}{3}\pi,\ k\in\mathbf{Z}\right\}
C.
{x∣x=kπ±23π, k∈Z}\left\{x\mid x=k\pi\pm\frac{2}{3}\pi,\ k\in\mathbf{Z}\right\}
D.
{x∣x=2kπ±13π, k∈Z}\left\{x\mid x=2k\pi\pm\frac{1}{3}\pi,\ k\in\mathbf{Z}\right\}

1992 · 三南 · 第 10 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★☆☆
有一条半径是 22 的弧，其度数是 60∘60^\circ，它绕经过弧的中点的直径旋转得到一个球冠，那么这个球冠的面积是（ ）
A.
4(2−3)π4(2-\sqrt{3})\pi
B.
2(2−3π)2(2-\sqrt{3}\pi)
C.
43π4\sqrt{3}\pi
D.
23π2\sqrt{3}\pi

1992 · 三南 · 第 11 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
某小组共有 1010 名学生，其中女生 33 名. 现选举 22 名代表，至少有 11 名女生当选的不同的选法共有（ ）
A.
2727 种
B.
4848 种
C.
2121 种
D.
2424 种

1992 · 三南 · 第 12 题 · 选择题

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13集合与逻辑基础★★★☆☆
设全集 U=RU=\mathbf{R}，集合 M={x∣x2>2}M=\left\{x\mid \sqrt{x^2}>2\right\}，N={x∣log⁡x7>log⁡37}N=\left\{x\mid \log_x 7>\log_3 7\right\}，那么 M∩N‾=M\cap\overline{N}=（ ）
A.
{x∣x<−2}\{x\mid x<-2\}
B.
{x∣x<−2 或 x⩾3}\{x\mid x<-2\text{\ 或\ }x\geqslant 3\}
C.
{x∣x⩾3}\{x\mid x\geqslant 3\}
D.
{x∣−2⩽x<3}\{x\mid -2\leqslant x<3\}

1992 · 三南 · 第 13 题 · 选择题

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14数列★★★☆☆
设 {an}\{a_n\} 是由正数组成的等比数列，公比 q=2q=2，且 a1a2a3⋯a30=230a_1a_2a_3\cdots a_{30}=2^{30}，那么 a3a6a9⋯a30a_3a_6a_9\cdots a_{30} 等于（ ）
A.
2102^{10}
B.
2202^{20}
C.
2162^{16}
D.
2152^{15}

1992 · 三南 · 第 14 题 · 选择题

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15三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 不是直角三角形，AA 和 BB 是它的两个内角，那么（ ）
A.
“A<BA<B”是“tan⁡A<tan⁡B\tan A<\tan B”的充分条件，但不是必要条件
B.
“A<BA<B”是“tan⁡A<tan⁡B\tan A<\tan B”的必要条件，但不是充分条件
C.
“A<BA<B”是“tan⁡A<tan⁡B\tan A<\tan B”的充分必要条件
D.
“A<BA<B”不是“tan⁡A<tan⁡B\tan A<\tan B”的充分条件，也不是必要条件

1992 · 三南 · 第 15 题 · 选择题

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16函数与初等函数★☆☆☆☆
对于定义域是 R\mathbf{R} 的任何奇函数 f(x)f(x)，都有（ ）
A.
f(x)−f(−x)>0f(x)-f(-x)>0（x∈Rx\in\mathbf{R}）
B.
f(x)−f(−x)⩽0f(x)-f(-x)\leqslant 0（x∈Rx\in\mathbf{R}）
C.
f(x)f(−x)⩽0f(x)f(-x)\leqslant 0（x∈Rx\in\mathbf{R}）
D.
f(x)f(−x)>0f(x)f(-x)>0（x∈Rx\in\mathbf{R}）

1992 · 三南 · 第 16 题 · 选择题

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17解析几何★★☆☆☆
如果双曲线的两条渐近线的方程是 y=±32xy=\pm\frac{3}{2}x，焦点坐标是 (−26,0)(-\sqrt{26},0) 和 (26,0)(\sqrt{26},0)，那么它的两条准线之间的距离是（ ）
A.
81326\frac{8}{13}\sqrt{26}
B.
41326\frac{4}{13}\sqrt{26}
C.
181326\frac{18}{13}\sqrt{26}
D.
91326\frac{9}{13}\sqrt{26}

1992 · 三南 · 第 17 题 · 选择题

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18三角函数★★☆☆☆
tan⁡π8=\tan \frac{\pi}{8}=______.

1992 · 三南 · 第 18 题 · 填空题

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19解析几何★☆☆☆☆
设直线的参数方程是
{x=2+12t,y=3+32t,\begin{cases} x=2+\frac{1}{2}t,\\ y=3+\frac{\sqrt{3}}{2}t, \end{cases}
那么它的斜截式方程是______.

1992 · 三南 · 第 19 题 · 填空题

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20解析几何★★☆☆☆
如果三角形的顶点分别是 O(0,0)O(0,0)，A(0,15)A(0,15)，B(−8,0)B(-8,0)，那么它的内切圆方程是______.

1992 · 三南 · 第 20 题 · 填空题

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21数列★★☆☆☆
lim⁡n→∞[11⋅4+14⋅7+17⋅10+⋯+1(3n−2)(3n+1)]=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left[ \frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 10}+\cdots+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} \right]=______.

1992 · 三南 · 第 21 题 · 填空题

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22计数原理与组合数学★★★☆☆
919291^{92} 除以 100100 的余数是______.

1992 · 三南 · 第 22 题 · 填空题

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23立体几何初步★★★☆☆
已知三棱锥 A−BCDA-BCD 的体积是 VV，棱 BCBC 的长是 aa，面 ABCABC 和面 DBCDBC 的面积分别是 S1S_1 和 S2S_2. 设面 ABCABC 和面 DBCDBC 所成的二面角是 α\alpha，那么 sin⁡α=\sin \alpha=______.

1992 · 三南 · 第 23 题 · 填空题

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24指数函数与对数函数★★★☆☆
已知关于 xx 的方程 2a2x−2−7ax−1+3=02a^{2x-2}-7a^{x-1}+3=0 有一个根是 22，求 aa 的值和方程其余的根.

1992 · 三南 · 第 24 题 · 解答题

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25立体几何初步★★★☆☆
已知平面 α\alpha 和不在这个平面内的直线 aa 都垂直于平面 β\beta. 求证： a∥αa\parallel \alpha.

1992 · 三南 · 第 25 题 · 解答题

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