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07函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数，且在区间 [0,+∞)[0, +\infty) 上单调递增. 若实数 aa 满足 f(log⁡2a)+f(log⁡12a)⩽2f(1)f(\log_{2} a) + f(\log_{\frac{1}{2}} a) \leqslant 2f(1)，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[1,2][1,2]
B.
(0,12]\left(0, \frac{1}{2}\right]
C.
[12,2]\left[\frac{1}{2}, 2\right]
D.
(0,2](0,2]

2013 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=ex+x−2f(x) = \mathrm{e}^{x} + x - 2，g(x)=ln⁡x+x2−3g(x) = \ln x + x^2 - 3. 若实数 aa，bb 满足 f(a)=0f(a) = 0，g(b)=0g(b) = 0，则（ ）
A.
g(a)<0<f(b)g(a) < 0 < f(b)
B.
f(b)<0<g(a)f(b) < 0 < g(a)
C.
0<g(a)<f(b)0 < g(a) < f(b)
D.
f(b)<g(a)<0f(b) < g(a) < 0

2013 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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13三角函数★★★☆☆
如图，在圆内接梯形 ABCDABCD 中，AB∥DCAB \parallel DC，过点 AA 作圆的切线与 CBCB 的延长线交于点 EE. 若 AB=AD=5AB = AD = 5，BE=4BE = 4，则弦 BDBD 的长为______.

2013 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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15概率与统计★★★☆☆
某产品的三个质量指标分别为 xx，yy，zz，用综合指标 S=x+y+zS = x + y + z 评价该产品的等级. 若 S⩽4S \leqslant 4，则该产品为一等品. 现从一批该产品中，随机抽取 1010 件产品作为样本，其质量指标列表如下：
(1) 利用上表提供的样本数据估计出该批产品的一等品率； (2) 在该样本的一等品中，随机抽取 22 件产品.
① 用产品编号列出所有可能的结果； ② 设事件 BB 为“在取出的 22 件产品中，每件产品的综合指标 SS 都等于 44”，求事件 BB 发生的概率.

2013 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc，已知 bsin⁡A=3csin⁡Bb \sin A = 3c \sin B，a=3a = 3，cos⁡B=23\cos B = \frac{2}{3}.
(1) 求 bb 的值； (2) 求 sin⁡(2B−π3)\sin\left(2B-\frac{\pi}{3}\right) 的值.

2013 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，侧棱 A1A⊥A_{1}A \perp 底面 ABCABC，且各棱长均相等，DD，EE，FF 分别为棱 ABAB，BCBC，A1C1A_{1}C_{1} 的中点.
(1) 证明 EF∥EF \parallel 平面 A1CDA_{1}CD； (2) 证明平面 A1CD⊥A_{1}CD \perp 平面 A1ABB1A_{1}ABB_{1}； (3) 求直线 BCBC 与平面 A1CDA_{1}CD 所成角的正弦值.

2013 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知首项为 32\frac{3}{2} 的等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n} （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），且 −2S2-2S_{2}，S3S_{3}，4S44S_{4} 成等差数列.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 证明 Sn+1Sn⩽136S_{n} + \frac{1}{S_{n}} \leqslant \frac{13}{6} （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.

2013 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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