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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∈R∣∣x∣⩽2}A = \{x \in \mathbf{R} \mid |x| \leqslant 2\}，B={x∈R∣x⩽1}B = \{x \in \mathbf{R} \mid x \leqslant 1\}，则 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
(−∞,2](-\infty, 2]
B.
[1,2][1,2]
C.
[−2,2][-2, 2]
D.
[−2,1][-2, 1]

2013 · 天津 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{3x+y−6⩾0,x−y−2⩽0,y−3⩽0,\begin{cases} 3x + y - 6 \geqslant 0,\\ x - y - 2 \leqslant 0,\\ y - 3 \leqslant 0, \end{cases}
则目标函数 z=y−2xz = y - 2x 的最小值为（ ）
A.
−7-7
B.
−4-4
C.
1
D.
2

2013 · 天津 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 nn 的值为（ ）
A.
7
B.
6
C.
5
D.
4

2013 · 天津 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，则“(a−b)⋅a2<0(a - b) \cdot a^2 < 0”是“a<ba < b”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2013 · 天津 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
已知过点 P(2,2)P(2,2) 的直线与 (x−1)2+y2=5(x - 1)^2 + y^2 = 5 相切，且与直线 ax−y+1=0ax - y + 1 = 0 垂直，则 a=a =（ ）
A.
−12-\frac{1}{2}
B.
1
C.
2
D.
12\frac{1}{2}

2013 · 天津 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=sin⁡(2x−π4)f(x) = \sin \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) 在区间 [0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right] 上的最小值为（ ）
A.
−1-1
B.
−22-\frac{\sqrt{2}}{2}
C.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
D.
0

2013 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数，且在区间 [0,+∞)[0, +\infty) 上单调递增. 若实数 aa 满足 f(log⁡2a)+f(log⁡12a)⩽2f(1)f(\log_{2} a) + f(\log_{\frac{1}{2}} a) \leqslant 2f(1)，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[1,2][1,2]
B.
(0,12]\left(0, \frac{1}{2}\right]
C.
[12,2]\left[\frac{1}{2}, 2\right]
D.
(0,2](0,2]

2013 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=ex+x−2f(x) = \mathrm{e}^{x} + x - 2，g(x)=ln⁡x+x2−3g(x) = \ln x + x^2 - 3. 若实数 aa，bb 满足 f(a)=0f(a) = 0，g(b)=0g(b) = 0，则（ ）
A.
g(a)<0<f(b)g(a) < 0 < f(b)
B.
f(b)<0<g(a)f(b) < 0 < g(a)
C.
0<g(a)<f(b)0 < g(a) < f(b)
D.
f(b)<g(a)<0f(b) < g(a) < 0

2013 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 是虚数单位，复数 (3+i)(1−2i)=(3+\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})=______.

2013 · 天津 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10立体几何初步★★☆☆☆
已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为 9π2\frac{9\pi}{2}，则正方体的棱长为______.

2013 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★☆☆☆
已知抛物线 y2=8xy^{2} = 8x 的准线过双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>0a > 0，b>0b > 0）的一个焦点，且双曲线的离心率为 2，则该双曲线的方程为______.

2013 · 天津 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★★☆☆☆
在平行四边形 ABCDABCD 中，AD=1AD = 1，∠BAD=60∘\angle BAD = 60^{\circ}，EE 为 CDCD 的中点. 若 AC→⋅BE→=1\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BE} = 1，则 ABAB 的长为______.

2013 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13三角函数★★★☆☆
如图，在圆内接梯形 ABCDABCD 中，AB∥DCAB \parallel DC，过点 AA 作圆的切线与 CBCB 的延长线交于点 EE. 若 AB=AD=5AB = AD = 5，BE=4BE = 4，则弦 BDBD 的长为______.

2013 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★★★☆
设 a+b=2a + b = 2，b>0b > 0，则 12∣a∣+∣a∣b\frac{1}{2|a|} + \frac{|a|}{b} 的最小值为______.

2013 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15概率与统计★★★☆☆
某产品的三个质量指标分别为 xx，yy，zz，用综合指标 S=x+y+zS = x + y + z 评价该产品的等级. 若 S⩽4S \leqslant 4，则该产品为一等品. 现从一批该产品中，随机抽取 1010 件产品作为样本，其质量指标列表如下：
(1) 利用上表提供的样本数据估计出该批产品的一等品率； (2) 在该样本的一等品中，随机抽取 22 件产品.
① 用产品编号列出所有可能的结果； ② 设事件 BB 为“在取出的 22 件产品中，每件产品的综合指标 SS 都等于 44”，求事件 BB 发生的概率.

2013 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc，已知 bsin⁡A=3csin⁡Bb \sin A = 3c \sin B，a=3a = 3，cos⁡B=23\cos B = \frac{2}{3}.
(1) 求 bb 的值； (2) 求 sin⁡(2B−π3)\sin\left(2B-\frac{\pi}{3}\right) 的值.

2013 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，侧棱 A1A⊥A_{1}A \perp 底面 ABCABC，且各棱长均相等，DD，EE，FF 分别为棱 ABAB，BCBC，A1C1A_{1}C_{1} 的中点.
(1) 证明 EF∥EF \parallel 平面 A1CDA_{1}CD； (2) 证明平面 A1CD⊥A_{1}CD \perp 平面 A1ABB1A_{1}ABB_{1}； (3) 求直线 BCBC 与平面 A1CDA_{1}CD 所成角的正弦值.

2013 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的左焦点为 FF，离心率为 33\frac{\sqrt{3}}{3}，过点 FF 且与 xx 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 433\frac{4\sqrt{3}}{3}.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设 AA，BB 分别为椭圆的左，右顶点，过点 FF 且斜率为 kk 的直线与椭圆交于 CC，DD 两点. 若 AC→⋅DB→+AD→⋅CB→=8\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{CB} = 8，求 kk 的值.

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19数列★★★☆☆
已知首项为 32\frac{3}{2} 的等比数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n} （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），且 −2S2-2S_{2}，S3S_{3}，4S44S_{4} 成等差数列.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 证明 Sn+1Sn⩽136S_{n} + \frac{1}{S_{n}} \leqslant \frac{13}{6} （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.

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20导数及其应用★★★★★
设 a∈[−2,0]a \in [-2,0]，已知函数
f(x)={x3−(a+5)x,x⩽0,x3−a+32x2+ax,x>0.f(x) = \begin{cases} x^3 - (a + 5)x, & x \leqslant 0,\\ x^3 - \frac{a + 3}{2}x^2 + ax, & x > 0. \end{cases}
(1) 证明： f(x)f(x) 在区间 (−1,1)(-1,1) 内单调递减，在区间 (1,+∞)(1,+\infty) 内单调递增； (2) 设曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 Pi(xi,f(xi))P_i(x_i, f(x_i)) （i=1i = 1，22，33） 处的切线相互平行，且 x1x2x3≠0x_{1}x_{2}x_{3} \neq 0，证明：x1+x2+x3>−13x_{1} + x_{2} + x_{3} > -\frac{1}{3}.

2013 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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