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06指数函数与对数函数★★★☆☆
若函数 f(x)=log⁡axf(x) = \log_a x （0<a<10 < a < 1）在区间 [a,2a][a, 2a] 上的最大值是最小的 33 倍，则 a=a =（ ）
\begin{solution} 因为 0<a<10<a<1，函数 f(x)=log⁡axf(x)=\log_a x 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递减，所以在 [a,2a][a,2a] 上的最大值和最小值分别为 f(a)=1f(a)=1 和 f(2a)=log⁡a2+1f(2a)=\log_a2+1. 由题意， 1=3(log⁡a2+1)1=3\left(\log_a2+1\right)，所以 log⁡a2=−23\log_a2=-\dfrac23. 于是 a−23=2a^{-\frac23}=2，即 a23=12a^{\frac23}=\dfrac12，从而 a=(12)32=24a=\left(\dfrac12\right)^{\frac32}=\dfrac{\sqrt2}{4}. 故选 A. \end{solution}
A.
24\frac{\sqrt{2}}{4}
B.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
C.
14\frac{1}{4}
D.
12\frac{1}{2}

2004 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★★☆☆
若过定点 M(−1,0)M(-1,0) 且斜率为 kk 的直线与圆 x2+4x+y2−5=0x^{2} + 4x + y^{2} - 5 = 0 在第一象限内的部分有交点，则 kk 的取值范围是（ ）
\begin{solution} 圆的方程化为 (x+2)2+y2=9(x+2)^2+y^2=9，圆心为 (−2,0)(-2,0)，半径为 33. 过 M(−1,0)M(-1,0) 且斜率为 kk 的直线为 y=k(x+1)y=k(x+1). 要与第一象限内的圆弧相交，必须有 k>0k>0，因为交点需满足 x>0x>0 和 y>0y>0.
将直线代入圆的方程，得 (x+2)2+k2(x+1)2=9(x+2)^2+k^2(x+1)^2=9. 在 x⩾0x\geqslant0 时，左端随 xx 增大而增大；当 x=0x=0 时左端为 4+k24+k^2，当 x=1x=1 时左端为 9+4k2>99+4k^2>9. 因此存在 0<x<10<x<1 的交点当且仅当 4+k2<94+k^2<9，即 k<5k<\sqrt5. 端点 k=0k=0 时交点在 xx 轴上，端点 k=5k=\sqrt5 时交点为 (0,5)(0,\sqrt5)，均不在第一象限内. 因此 0<k<50<k<\sqrt5，故选 A. \end{solution}
A.
0<k<50 < k < \sqrt{5}
B.
−5<k<0-\sqrt{5} < k < 0
C.
0<k<130 < k < \sqrt{13}
D.
0<k<50 < k < 5

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08立体几何初步★★★☆☆
如图，定点 AA 和 BB 都在平面 α\alpha 内，定点 P∉αP\notin \alpha，PB⊥αPB \perp \alpha，CC 是 α\alpha 内异于 AA 和 BB 的动点，且 PC⊥ACPC \perp AC. 那么，动点 CC 在平面 α\alpha 内的轨迹是（ ）
\begin{solution} 在平面 α\alpha 内取 BB 为原点，令 BA→=a\overrightarrow{BA}=\boldsymbol{a}，BC→=c\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{c}，并设 PB=h>0PB=h>0. 由于 PB⊥αPB\perp\alpha，向量 CP→\overrightarrow{CP} 的平面内分量为 −c-\boldsymbol{c}，而 CA→=a−c\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}. 条件 PC⊥ACPC\perp AC 给出 CP→⋅CA→=(−c)⋅(a−c)=0\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CA}=(-\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})=0，即 c⋅(c−a)=0\boldsymbol{c}\cdot(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a})=0.
配方得 ∣c−12a∣2=14∣a∣2\left|\boldsymbol{c}-\dfrac12\boldsymbol{a}\right|^2=\dfrac14\left|\boldsymbol{a}\right|^2. 因此 CC 在以 ABAB 为直径的圆上. 题设规定 CC 异于 AA 和 BB，所以要从该圆上去掉这两个点，故选 B. \end{solution}
A.
一条线段，但要去掉两个点
B.
一个圆，但要去掉两个点
C.
一个椭圆，但要去掉两个点
D.
半圆，但要去掉两个点

2004 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★☆☆
如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=6AB = 6，AD=4AD = 4，AA1=3AA_{1} = 3. 分别过 BCBC，A1D1A_{1}D_{1} 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为 V1=VAEA1−DFD1V_{1} = V_{AEA_{1}-DFD_{1}}，V2=VEBE1A1−FCF1D1V_{2} = V_{EBE_{1}A_{1}-FCF_{1}D_{1}}，V3=VB1E1B−C1F1CV_{3} = V_{B_{1}E_{1}B-C_{1}F_{1}C}. 若 V1:V2:V3=1:4:1V_{1}:V_{2}:V_{3} = 1:4:1，则截面 A1EFD1A_{1}EFD_{1} 的面积为（ ）
\begin{solution} 在正视图 ABB1A1ABB_1A_1 中，设 AE=xAE=x. 两个截面平行，所以它们在正视图中的截线 A1EA_1E 与 BE1BE_1 平行；由两侧直角三角形的高都为 AA1=BB1=3AA_1=BB_1=3，可得 B1E1=AE=xB_1E_1=AE=x. 同理，在后视图中 DF=xDF=x，且 C1F1=xC_1F_1=x.
沿 ADAD 方向观察，三个部分的截面面积分别为两个全等直角三角形和中间剩余部分： S1=12⋅3x=3x2S_1=\dfrac12\cdot3x=\dfrac{3x}{2}， S3=3x2S_3=\dfrac{3x}{2}，S2=6⋅3−S1−S3=18−3xS_2=6\cdot3-S_1-S_3=18-3x. 三部分沿同一方向延伸长度 AD=4AD=4，所以体积比等于截面面积比. 由题意 3x2:(18−3x):3x2=1:4:1\dfrac{3x}{2}:\left(18-3x\right):\dfrac{3x}{2}=1:4:1，得 18−3x=4⋅3x2=6x18-3x=4\cdot\dfrac{3x}{2}=6x，所以 x=2x=2.
截面 A1EFD1A_1EFD_1 是以 AD=4AD=4 和 A1EA_1E 为两条互相垂直的边的矩形，且 A1E=AA12+AE2=32+22=13A_1E=\sqrt{AA_1^2+AE^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}. 因此其面积为 4134\sqrt{13}，故选 C. \end{solution}
A.
4104\sqrt{10}
B.
838\sqrt{3}
C.
4134\sqrt{13}
D.
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17三角函数★★★☆☆
已知 tan⁡(π4+α)=12\tan \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{1}{2}.
(1) 求 tan⁡α\tan\alpha 的值； (2) 求 sin⁡2α−cos⁡2α1+cos⁡2α\frac{\sin 2\alpha - \cos^{2}\alpha}{1 + \cos 2\alpha} 的值.

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 是正方形，侧棱 PD⊥PD \perp 底面 ABCDABCD，PD=DCPD = DC，EE 是 PCPC 的中点.
(1) 证明：PA∥PA \parallel 平面 EDBEDB； (2) 求 EBEB 与底面 ABCDABCD 所成的角的正切值.

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21导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax3+cx+df(x) = ax^3 + cx + d（a≠0a \neq 0）是 R\mathbf{R} 上的奇函数，当 x=1x = 1 时 f(x)f(x) 取得极值 −2-2.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间和极大值； (2) 证明对任意 x1x_{1}，x2∈(−1,1)x_{2} \in (-1, 1)，不等式 ∣f(x1)−f(x2)∣<4|f(x_{1}) - f(x_{2})| < 4 恒成立.

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