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06三角函数★★★☆☆
如图，圆 OO 的半径为 11，AA 是圆上的定点，PP 是圆上的动点，角 xx 的始边为射线 OAOA，终边为射线 OPOP，过点 PP 作直线 OAOA 的垂线，垂足为 MM，将点 MM 到直线 OPOP 的距离表示为 xx 的函数 f(x)f(x)，则 y=f(x)y = f(x) 在 [0,π]\left[0, \pi\right] 上的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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08三角函数★★★☆☆
设 α∈(0,π2)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，β∈(0,π2)\beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，且 tan⁡α=1+sin⁡βcos⁡β\tan \alpha = \frac{1 + \sin \beta}{\cos \beta}，则（ ）
A.
3α−β=π23\alpha -\beta = \frac{\pi}{2}
B.
3α+β=π23\alpha +\beta = \frac{\pi}{2}
C.
2α−β=π22\alpha -\beta = \frac{\pi}{2}
D.
2α+β=π22\alpha +\beta = \frac{\pi}{2}

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★★★☆☆
不等式组
{x+y⩾1,x−2y⩽4\begin{cases} x + y \geqslant 1,\\ x - 2y \leqslant 4 \end{cases}
的解集记为 DD. 有下面四个命题：
① p1 ⁣:∀(x,y)∈Dp_1\colon \forall (x,y)\in D，x+2y⩾−2x + 2y\geqslant -2； ② p2 ⁣:∃(x,y)∈Dp_2\colon \exists (x,y)\in D，x+2y⩾2x + 2y\geqslant 2； ③ p3 ⁣:∀(x,y)∈Dp_3\colon \forall (x,y)\in D，x+2y⩽3x + 2y\leqslant 3； ④ p4 ⁣:∃(x,y)∈Dp_4\colon \exists (x,y)\in D，x+2y⩽−1x + 2y\leqslant -1.
其中真命题是（ ）
A.
p2,p3p_2, p_3
B.
p1p_1，p2p_2
C.
p1p_1，p4p_4
D.
p1p_1，p3p_3

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
已知抛物线 C:y2=8xC: y^{2} = 8x 的焦点为 FF，准线为 ll，PP 是 ll 上一点，QQ 是直线 PFPF 与 CC 的一个交点，若 FP→=4FQ→\overrightarrow{FP} = 4\overrightarrow{FQ}，则 ∣QF∣=|QF| =（ ）
A.
72\frac{7}{2}
B.
3
C.
52\frac{5}{2}
D.
2

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★☆☆
如图，网格纸上小正方形的边长为 11，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A.
626\sqrt{2}
B.
6
C.
424\sqrt{2}
D.
4

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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15平面向量★★★☆☆
已知 AA，BB，CC 是圆 OO 上的三点，若 AO→=12(AB→+AC→)\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right)，则 AB→\overrightarrow{AB} 与 AC→\overrightarrow{AC} 的夹角为______.

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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17数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，a1=1a_{1} = 1，an≠0a_{n} \neq 0，anan+1=λSn−1a_{n}a_{n+1} = \lambda S_{n} - 1，其中 λ\lambda 为常数.
(1) 证明：an+2−an=λa_{n+2}-a_{n}=\lambda； (2) 是否存在 λ\lambda，使得 {an}\{a_{n}\} 为等差数列？并说明理由.

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
从某企业生产的某种产品中抽取 500500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1) 求这 500500 件产品质量指标值的样本平均数 xˉ\bar{x} 和样本方差 s2s^{2} （同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2) 由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 ZZ 服从正态分布 N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)，其中 μ\mu 近似为样本平均数 xˉ\bar{x}，σ2\sigma^2 近似为样本方差 s2s^2.
(i) 利用该正态分布，求 P(187.8<Z<212.2)P(187.8 < Z < 212.2)； (ii) 某用户从该企业购买了 100100 件这种产品，记 XX 表示这 100100 件产品中质量指标值位于区间 (187.8,212.2)(187.8, 212.2) 的产品件数，利用（i）的结果，求 E(X)E(X).
附：150≈12.2\sqrt{150} \approx 12.2，若 Z∼N(μ,σ2)Z \sim N(\mu, \sigma^{2})，则 P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6826P(\mu - \sigma < Z < \mu + \sigma) = 0.6826，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.9544P(\mu - 2\sigma < Z < \mu + 2\sigma) = 0.9544.

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
已知曲线 C:x24+y29=1C: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1，直线
l:{x=2+t,y=2−2t,l: \begin{cases} x = 2 + t,\\ y = 2 - 2t, \end{cases}
（tt 为参数）.
(1) 写出曲线 CC 的参数方程，直线 ll 的普通方程； (2) 过曲线 CC 上任一点 PP 作与 ll 夹角为 30∘30^{\circ} 的直线，交 ll 于点 AA，求 ∣PA∣|PA| 的最大值与最小值.

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
若 a>0a > 0，b>0b > 0，且 1a+1b=ab\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \sqrt{ab}.
(1) 求 a3+b3a^3 + b^3 的最小值； (2) 是否存在 aa，bb，使得 2a+3b=62a + 3b = 6？并说明理由.

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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