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共找到 24 题
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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣x2−2x−3⩾0}A = \{x \mid x^2 - 2x - 3 \geqslant 0\}，B={x∣−2⩽x<2}B = \{x \mid -2 \leqslant x < 2\}，则 A∩B=A \cap B =（ ）
A.
[−2,−1][-2, -1]
B.
[−1,2)[-1, 2)
C.
[−1,1][-1, 1]
D.
[1,2)[1,2)

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
(1+i)3(1−i)2=\frac{(1 + \mathrm{i})^3}{(1 - \mathrm{i})^2} =（ ）
A.
1+i1 + \mathrm{i}
B.
1−i1 - \mathrm{i}
C.
−1+i-1 + \mathrm{i}
D.
−1−i-1 - \mathrm{i}

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的定义域都为 R\mathbf{R}，且 f(x)f(x) 是奇函数，g(x)g(x) 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A.
f(x)g(x)f(x)g(x) 是偶函数
B.
∣f(x)∣g(x)|f(x)|g(x) 是奇函数
C.
∣g(x)∣f(x)|g(x)|f(x) 是奇函数
D.
∣f(x)g(x)∣|f(x)g(x)| 是奇函数

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04解析几何★★☆☆☆
已知 FF 是双曲线 C:x2−my2=3mC: x^{2} - my^{2} = 3m （m>0m > 0）的一个焦点，则点 FF 到 CC 的一条渐近线的距离为（ ）
A.
3\sqrt{3}
B.
3
C.
3m\sqrt{3} m
D.
3m3m

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★★☆☆☆
44 位同学各自在周六，周日两天中任选一天参加公益活动，则周六，周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）
A.
18\frac{1}{8}
B.
38\frac{3}{8}
C.
58\frac{5}{8}
D.
78\frac{7}{8}

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★★☆☆
如图，圆 OO 的半径为 11，AA 是圆上的定点，PP 是圆上的动点，角 xx 的始边为射线 OAOA，终边为射线 OPOP，过点 PP 作直线 OAOA 的垂线，垂足为 MM，将点 MM 到直线 OPOP 的距离表示为 xx 的函数 f(x)f(x)，则 y=f(x)y = f(x) 在 [0,π]\left[0, \pi\right] 上的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07数列★★☆☆☆
执行如图的程序框图，若输入的 aa，bb，kk 分别为 11，22，33，则输出的 M=M =（ ）
A.
203\frac{20}{3}
B.
72\frac{7}{2}
C.
165\frac{16}{5}
D.
158\frac{15}{8}

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★★☆☆
设 α∈(0,π2)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，β∈(0,π2)\beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，且 tan⁡α=1+sin⁡βcos⁡β\tan \alpha = \frac{1 + \sin \beta}{\cos \beta}，则（ ）
A.
3α−β=π23\alpha -\beta = \frac{\pi}{2}
B.
3α+β=π23\alpha +\beta = \frac{\pi}{2}
C.
2α−β=π22\alpha -\beta = \frac{\pi}{2}
D.
2α+β=π22\alpha +\beta = \frac{\pi}{2}

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★★★☆☆
不等式组
{x+y⩾1,x−2y⩽4\begin{cases} x + y \geqslant 1,\\ x - 2y \leqslant 4 \end{cases}
的解集记为 DD. 有下面四个命题：
① p1 ⁣:∀(x,y)∈Dp_1\colon \forall (x,y)\in D，x+2y⩾−2x + 2y\geqslant -2； ② p2 ⁣:∃(x,y)∈Dp_2\colon \exists (x,y)\in D，x+2y⩾2x + 2y\geqslant 2； ③ p3 ⁣:∀(x,y)∈Dp_3\colon \forall (x,y)\in D，x+2y⩽3x + 2y\leqslant 3； ④ p4 ⁣:∃(x,y)∈Dp_4\colon \exists (x,y)\in D，x+2y⩽−1x + 2y\leqslant -1.
其中真命题是（ ）
A.
p2,p3p_2, p_3
B.
p1p_1，p2p_2
C.
p1p_1，p4p_4
D.
p1p_1，p3p_3

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
已知抛物线 C:y2=8xC: y^{2} = 8x 的焦点为 FF，准线为 ll，PP 是 ll 上一点，QQ 是直线 PFPF 与 CC 的一个交点，若 FP→=4FQ→\overrightarrow{FP} = 4\overrightarrow{FQ}，则 ∣QF∣=|QF| =（ ）
A.
72\frac{7}{2}
B.
3
C.
52\frac{5}{2}
D.
2

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=ax3−3x2+1f(x) = ax^3 - 3x^2 + 1，若 f(x)f(x) 存在唯一的零点 x0x_0，且 x0>0x_0 > 0，则 aa 的取值范围为（ ）
A.
(2,+∞)(2, +\infty)
B.
(1,+∞)(1, +\infty)
C.
(−∞,−2)(- \infty, -2)
D.
(−∞,−1)(- \infty, -1)

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★☆☆
如图，网格纸上小正方形的边长为 11，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A.
626\sqrt{2}
B.
6
C.
424\sqrt{2}
D.
4

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x−y)(x+y)8(x - y)(x + y)^8 的展开式中 x2y7x^{2}y^{7} 的系数为______.

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14概率与统计★★☆☆☆
甲，乙，丙三位同学被问到是否去过 AA，BB，CC 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 BB 城市；乙说：我没去过 CC 城市；丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为______.

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
已知 AA，BB，CC 是圆 OO 上的三点，若 AO→=12(AB→+AC→)\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right)，则 AB→\overrightarrow{AB} 与 AC→\overrightarrow{AC} 的夹角为______.

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
已知 aa，bb，cc 分别为 △ABC\triangle ABC 的三个内角 AA，BB，CC 的对边. a=2a = 2，且 (2+b)(sin⁡A−sin⁡B)=(c−b)sin⁡C(2 + b)(\sin A - \sin B) = (c - b)\sin C，则 △ABC\triangle ABC 面积的最大值为______.

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}，a1=1a_{1} = 1，an≠0a_{n} \neq 0，anan+1=λSn−1a_{n}a_{n+1} = \lambda S_{n} - 1，其中 λ\lambda 为常数.
(1) 证明：an+2−an=λa_{n+2}-a_{n}=\lambda； (2) 是否存在 λ\lambda，使得 {an}\{a_{n}\} 为等差数列？并说明理由.

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
从某企业生产的某种产品中抽取 500500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1) 求这 500500 件产品质量指标值的样本平均数 xˉ\bar{x} 和样本方差 s2s^{2} （同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2) 由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 ZZ 服从正态分布 N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)，其中 μ\mu 近似为样本平均数 xˉ\bar{x}，σ2\sigma^2 近似为样本方差 s2s^2.
(i) 利用该正态分布，求 P(187.8<Z<212.2)P(187.8 < Z < 212.2)； (ii) 某用户从该企业购买了 100100 件这种产品，记 XX 表示这 100100 件产品中质量指标值位于区间 (187.8,212.2)(187.8, 212.2) 的产品件数，利用（i）的结果，求 E(X)E(X).
附：150≈12.2\sqrt{150} \approx 12.2，若 Z∼N(μ,σ2)Z \sim N(\mu, \sigma^{2})，则 P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6826P(\mu - \sigma < Z < \mu + \sigma) = 0.6826，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.9544P(\mu - 2\sigma < Z < \mu + 2\sigma) = 0.9544.

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，侧面 BB1C1CBB_{1}C_{1}C 为菱形，AB⊥B1CAB \perp B_{1}C.
(1) 证明：AC=AB1AC = AB_{1}； (2) 若 AC⊥AB1AC \perp AB_{1}，∠CBB1=60∘\angle CBB_{1} = 60^{\circ}，AB=BCAB = BC，求二面角 A−A1B1−C1A - A_{1}B_{1} - C_{1} 的余弦值.

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知点 A(0,−2)A(0, -2)，椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的离心率为 32\frac{\sqrt{3}}{2}，FF 是椭圆的右焦点，直线 AFAF 的斜率为 233\frac{2\sqrt{3}}{3}，OO 为坐标原点.
(1) 求 EE 的方程； (2) 设过点 AA 的动直线 ll 与 EE 相交于 PP，QQ 两点. 当 △OPQ\triangle OPQ 的面积最大时，求 ll 的方程.

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=aexln⁡x+bex−1xf(x) = a \mathrm{e}^{x} \ln x + \frac{b \mathrm{e}^{x-1}}{x}，曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程为 y=e(x−1)+2y = \mathrm{e}(x - 1) + 2.
(1) 求 aa，bb； (2) 证明：f(x)>1f(x) > 1.

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22立体几何初步★★★★☆
如图，四边形 ABCDABCD 是 ⊙O\odot O 的内接四边形，ABAB 的延长线与 DCDC 的延长线交于点 EE，且 CB=CECB = CE.
(1) 证明：∠D=∠E\angle D = \angle E； (2) 设 ADAD 不是 ⊙O\odot O 的直径，ADAD 的中点为 MM，且 MB=MCMB = MC，证明：△ADE\triangle ADE 为等边三角形.

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★☆☆
已知曲线 C:x24+y29=1C: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1，直线
l:{x=2+t,y=2−2t,l: \begin{cases} x = 2 + t,\\ y = 2 - 2t, \end{cases}
（tt 为参数）.
(1) 写出曲线 CC 的参数方程，直线 ll 的普通方程； (2) 过曲线 CC 上任一点 PP 作与 ll 夹角为 30∘30^{\circ} 的直线，交 ll 于点 AA，求 ∣PA∣|PA| 的最大值与最小值.

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
若 a>0a > 0，b>0b > 0，且 1a+1b=ab\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \sqrt{ab}.
(1) 求 a3+b3a^3 + b^3 的最小值； (2) 是否存在 aa，bb，使得 2a+3b=62a + 3b = 6？并说明理由.

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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